Решение примеров

Пример 1. Требуется решить уравнение

(1)

(2)

Применим метод функции Грина. Будем для функции Грина вида решать уравнение

Здесь - функция Дирака.

К уравнениям (1)-(2) применим преобразование Лапласа:

.

Проведя дважды интегрирование по частям в первом интеграле и учитывая начальные условия (2), определение функции Дирака, получим соотношение

где – трансформанта Лапласа функции Грина.

Отсюда, согласно таблице 1, получим выражение для оригинала в виде

.

Решение исходного уравнения через функцию Грина представимо в виде

,

в чем можно убедиться непосредственной подстановкой в соотношения (1)-(2).

Представляя и проведя интегрирование по частям, окончательно получим

Здесь – функция Хевисайда.

Пример 2. Пусть дана задача Коши для уравнения теплопроводности

(3)

(4)

Применим метод функции Грина, для нее имеем задачу

(5)

(6)

Применяем преобразование Фурье

Для него задача Коши примет вид

(7)

(8)

К задаче (7)-(8) применяем преобразование Лапласа

Будем иметь

(9)

(10)

В уравнении (9) слева осуществляем интегрирования по частям и с учетом условия (10) получим

Используя таблицу 1, найдем

Итак, трансформанта Фурье найдена:

Для восстановления функции Грина используем обратное преобразование Фурье

И решение задачи (3)-(4) примет вид

Пример 3. Пусть дана следующая задача Коши для уравнения теплопроводности

(11)

(12)

Здесь – производная - функции.

Решение ищем путем последовательного применения преобразований Фурье и Лапласа.

Преобразование Фурье преобразует задачу (11)-(12) в задачу

(13)

(14)

А преобразование Лапласа преобразует задачу (13)-(14) в алгебраическое выражение

Используя таблицу 1, получим для функции-оригинала Лапласа

Обратное преобразование Фурье дает

Вспомним, во-первых, что А во-вторых, вычислим интеграл

Осуществляем выделение полного квадрата:

Делаем замену переменной После чего будем иметь

Далее разбиваем интеграл на сумму трех интегралов. Имеем

1).

2).

3).

Отсюда И решение задачи примет окончательный вид

Литература

1. Арсенина, В. Я. Методы математической физики и специальные функции: уч. пособие / В. Я. Арсенина. – М.: НАУКА, 1984. – 384 с.
2. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики: уч. пособие / А. Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: НАУКА, 1972. – 736 с.
3. Малинецкий, Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. – М.: НАУКА, 2000. – 336 с.
4. Рождественский, Б. Л. Системы квазилинейных уравнений / Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. – М.: НАУКА, 1966 г. – 592 с.
5. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. – М.: НАУКА, 1974 г. – т. 2. – 270 с.

Подписано в печать......… Формат 60´84 1\16.

Печ. л. 7,87… Тираж 100 зкз.

Заказ № …

Снежинский физико-технический институт – филиал национального исследовательского ядерного университета МИФИ

Типография СФТИ НИЯУ МИФИ.

456776, г. Снежинск, ул. Комсомольская, 8.

Поиск по сайту: