Начальные условия

Для выделения частного решения из общего решения ставят так называемые начальные условия к дифференциальному уравнению. Для ДУ n -ого порядка эти условия имеют следующий вид:

,

(2)

где - это фиксированные числа.

Таким образом:

· количество начальных условий совпадает с порядком ДУ, следовательно, совпадает с количеством произвольных постоянных в общем решении ДУ;

· суть начальных условий для ДУ n -ого порядка состоит в том, что они задают при фиксированном значении независимой переменной значения неизвестной функции и всех её производных до (n- 1 ) -ого порядка включительно.

Подставляя начальные условия (2) в общее решение ДУ (1), определяют значения произвольных постоянных и тем самым переходят от общего решения ДУ к его частному решению. Задачу нахождения частного решения ДУ, удовлетворяющего поставленным начальным условиям, называют задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Пример 2

Для ДУ предыдущего примера найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение

Общее решение данного уравнения известно: .

Подставляя сюда значения и из начальных условий, получим равенство для определения значения :

.

Возвращая теперь значение в общее решение, получим частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию:

- это и есть решение поставленной задачи Коши.

Ответ: .

Поиск по сайту: