 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Электронный конспект лекций
по дисциплине «Математический анализ» для студентов
специальности 230105 «ПО ВТ и АС»
Составитель ЭКЛ:
Кацуба В.С. – к.ф.-м.н., доцент,
Мурманск, 2008
Оглавление
| §1. | Определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка и решений. Дифференциальные уравнения первого порядка: общие определения и их геометрическая трактовка, теорема существования и единственности решения задачи Коши..................................................................................................................... | |
| §2. | Основные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка (решение ДУ с разделяющимися переменными, однородные ДУ, линейные ДУ, ДУ Бернулли).......................................................................................................................... | |
| §3. | Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.................................................................................................................................. | |
| §4. | Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений, теорема об общем решении.................................................................................................................... | |
| §5. | Нахождение фундаментальной системы частных решений для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами................ | |
| §6. | Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения. Принцип суперпозиции частных решений........................................................ | |
| §7. | Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами........................................................................................................................... | |
| §8. | Метод вариации произвольных постоянных................................................................. | |
| §9. | Понятие о системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение систем методом повышения порядка дифференциальных уравнений............................. | |
| §10. | Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений и их систем..... |
§10 не отредактирован.
| §1. 1.1 | Определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка и решений. Дифференциальные уравнения первого порядка: общие определения и их геометрическая трактовка, теорема существования и единственности решения задачи Коши Физическая задача, приводящая к понятию дифференциального уравнения |
С некоторой высоты брошено тело массой m. Составить уравнение для скорости падения этого тела в любой момент времени от начала падения, если на него, кроме силы тяжести, действует сила сопротивления воздуха, прямо пропорциональная скорости падения.
Решение.
В момент времени 
составляем уравнение падения тела, используя II закон Ньютона:
, где 
- масса тела, 
- ускорение тела, 
- скорость тела,
- равнодействующая всех сил, приложенных к телу в его центре масс.
Так как все векторы, обозначенные в задаче, являются коллинеарными, то уравнение падения тела можно записать в скалярной форме:
| (*) |
– это есть уравнение относительно искомой скорости V(t), так как оно выполняется в любой момент времени t.
Такое уравнение называется дифференциальным, так как в него входит производная искомой функции V(t). Решить это дифференциальное уравнение (далее ДУ) – это значит найти функцию V(t), удовлетворяющую ДУ при любом t. Для однозначного определения этой функции нужны еще так называемые начальные условия – это начальная скорость, с которой тело брошено с фиксированной высоты:
, где 
– момент времени, когда тело брошено,
– число, равное модулю начальной скорости падения.
Если же начальные условия не ставить, то дифференциальному уравнению (*) будет удовлетворять бесконечно много функций 
| 1.2 | Общие понятия, связанные с дифференциальными уравнениями |
| Определение обыкновенного ДУ и его порядка | |||
Обыкновенным дифференциальным уравнениемназывается равенство, выражающее связь между некоторой независимой переменной  , неизвестной функцией  и ее производными по .
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение. |
Примеры
1) 
- ДУ II порядка относительно функции 
;
2) 
- ДУ III порядка относительно функции ;
3) 
- ДУ III порядка относительно функции 
;
4) – ДУ I порядка относительно функции 
.
Замечания
1. Чтобы уравнение было дифференциальным, в него могут явно не входить , , но обязательно входит хотя бы одна производная функции 
2. Обыкновенныедифференциальные уравнения содержат неизвестную функцию, зависящую от одной переменной. Такие и будем рассматривать. Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то ДУ называют дифференциальным уравнением в частных производных.
| Определение решений ДУ |
Решением дифференциального уравнения называется любая функция, которая, будучи подставленной в ДУ, обращает его в тождество относительно аргумента.
Различают три вида решений ДУ: общее, частное и особое.
Общим решением ДУ n-ного порядка называется функция  ,
зависящая от аргумента и  произвольных постоянных  и удовлетворяющая ДУ при любых значениях этих постоянных.
Частным решением ДУ называется его решение, получающееся из общего решения этого ДУ при фиксированных значениях постоянных  :  .
Особым решением ДУ называется такое его решение, которое не может быть получено из его общего решения ни при каких фиксированных значениях произвольных постоянных .
|
Пример 1
Рассмотрим 
- ДУ I порядка относительно функции .
Его общим решением является функция 
,
так как при подстановке этой функции в ДУ получаем тождественно по и по 
:
- верно при любых 
и любых значениях .
Частными решениями рассматриваемого ДУ являются функции:
Особым решением является функция 
, так как она удовлетворяет ДУ, но не получается из общего решения ни при каком значении .
Поиск по сайту: