 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Обоснование метода вариации
Функцию (4) 
будем дифференцировать и подставлять в ДУ (1):
;
так как для определения одной функции 
введены две функции 
и 
, то тем самым в задаче получился произвол, которым можно распорядиться удобным образом, например, в положить равным нулю сумму слагаемых, содержащих c1' и c2':
 ;
| (7) |
тогда первая производная 
упрощается, и находим вторую производную:
ДУ (1): 
 
| (7') |
(здесь учтено, что 
и 
– это частные решения ЛОДУ (2)).
Таким образом, взяв в виде (4), получили для функций и два уравнения (7) и (7'). Объединим их в систему (5) и обсудим ее разрешимость:
– это система линейных алгебраических уравнений относительно c1' и c2';
главный определитель системы 
, так как и – линейно независимые частные решения ЛОДУ (2), поэтому их вронскиан 
;
по теореме Крамера, система (5) имеет единственное решение.
Решив систему (5), получим производные неизвестных функций c1' и c2' одной переменной; сами функции можно восстановить по их производным с помощью неопределенного интеграла, то есть 
.
Обоснование метода вариации закончено.
Пример 1
Найти общее решение ДУ 
.
Решение
Данное диф. уравнение имеет тип ЛНДУ с постоянными коэффициентами, поэтому его общее решение составляем по формуле 
, причем, 
можно найти с помощью характеристического уравнения.
Находим 
.
Находим 
- не подходит ни под первый, ни под второй специальный вид,
поэтому можно найти только методом вариации;
составляем в таком же виде, в каком получилось , но произвольные постоянные 
заменяем на функции от x: 
;
функции с1(х) и с2(х) определяются функциональной системой уравнений (5),
которая в данной задаче имеет следующий вид: 
Решаем систему по формулам Крамера:
;
; 
Þ
, 
.
Подставим 
в функцию :
.
Так как 
-- это какое-нибудь частное решение данного неоднородного ДУ, то входящими в него константами интегрирования 
можно распорядиться любым удобным образом, например, положить 
.
Найденное всегда можно подтвердить проверкой, если подставить его в исходное неоднородное ДУ.
Ответ: 
– это общее решение данного ДУ.
Поиск по сайту: