Упражнения для самостоятельного решения

Для каждого из заданных ЛОДУ с постоянными коэффициентами составьте ФСЧР и запишите общее решение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Ответы к упражнениям для самостоятельного решения:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , ;

5) , , , .

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

, где .

(1)

Соответствующее ему линейное однородное ДУ имеет вид

(2)

Теорема (об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения: , или (3)

Доказательство

Покажем, что функция удовлетворяет всем требованиям общего решения ЛНДУ (1), то есть:

а) удовлетворяет ДУ;

б) содержит нужное количество произвольных постоянных;

в) с помощью функции можно решить любую задачу Коши.

.	(3')
Так как – это общее решение ЛОДУ (2), то где - это ФСЧР ДУ (2), - произвольные постоянные.	(4)

Действительно, так как - это какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения, то оно удовлетворяет ЛНДУ (1), то есть

Проверим для функции требования а), б), в):

а) подставим в дифференциальное уравнение (1):

- ДУ (1) удовлетворяется;

б) подставим в слагаемое :

и видим, что функция содержит нужные две произвольные постоянные ;

в) решим задачу Коши для дифференциального (1), поставив начальные условия:

;

эти начальные условия подставляем в функцию (3) с учётом равенства (4) для :

получилась система двух линейных алгебраических уравнений относительно чисел с главным определителем ,

так как и – это линейно независимые частные решения однородного ДУ, поэтому их вронскиан в любой точке ; по теореме Крамера заключаем, что система уравнений относительно имеет единственное решение при любых числах ,

поэтому любая задача Коши для ДУ(1) может быть решена.

Таким образом, функция удовлетворяет всем требованиям общего решения, следовательно, таковым и является, ч.т.п.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка .

Решение

Так как уравнение является линейным неоднородным, то его общее решение записывается как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения:

.

Находим , решив соответствующее однородное дифференциальное уравнение:

, где – это ФСЧР;

так как уравнение имеет постоянные коэффициенты, то фундаментальную систему его частных решений находим с помощью характеристического уравнения:

– комплексно сопряженные корни

ФСЧР: .

Универсальным методом для нахождения частного решения линейного неоднородного ДУ является метод вариации произвольных постоянных, который будет рассмотрен далее. В решаемой задаче ограничимся частным решением , найденным подбором:

.

Тогда записываем общее решение данного уравнения:

.

Доказанная в этом параграфе теорема справедлива для линейных неоднородных уравнений любого порядка, причем, уравнение не обязано иметь постоянные коэффициенты. Однако отработать на практике эту теорему есть возможность только для ЛНДУ с постоянными коэффициентами, так как только в этом случае вполне понятно, как находить общее решение соответствующего ЛОДУ.

Поиск по сайту: