Упражнения для самостоятельного решения

Покажите, что данные функции образуют фундаментальную систему частных решений (ФСЧР) данного ЛОДУ, и запишите общее решение этого ДУ:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , , ;

Ответы к упражнениям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

,

(1)

где – числа (или const по ).

Это уравнение является частным случаем ЛОДУ ,

и известна формула для его общего решения (см. теорему предыдущего параграфа):

,

где – произвольные постоянные,

– ФСЧР, то есть система двух линейно независимых частных решений.

Будем искать частные решения и для ДУ(1) в виде экспоненты:

.

Поставив в ЛОДУ(1), получим:

(2)

Таким образом, чтобы функция удовлетворяла ЛОДУ(1), нужно, чтобы число k удовлетворяло уравнению (2), которое называется характеристическим уравнением для линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение (2) является квадратным уравнением относительно k (в общем случае – алгебраическим уравнением n -ной степени для ЛОДУ n -го порядка).

Рассмотрим все возможные случаи для корней характеристического уравнения (2).

1 случай: если – действительные различные корни, то имеем два частных решения ДУ(1) ;

это и есть ФСЧР, так как , потому что .

2 случай: если k ₁ = k ₂ – действительные равные корни, то имеем только одно частное решение ДУ(1). В этом случае ФСЧР можно взять в виде ,

так как, во-первых, функция удовлетворяет ДУ:

Û 0=0 является частным решением;

во-вторых, функции и линейно независимы: .

3 случай: если - это комплексно сопряженные корни, то можно показать, что ФСЧР может быть записана в виде .

Действительно, эти функции являются линейно независимыми, так как , и каждая из них удовлетворяет ДУ (1), что проверяется их подстановкой в дифференциальное уравнение.

Подставим в ДУ(1):

Þ

ДУ(1):

- ДУ удовлетворяется;

при этом равенство нулю обозначенных скобок следует из того, что числа являются корнями характеристического уравнения (2), поэтому

.

Таким образом, показано, что функция удовлетворяет ДУ (1), следовательно, является его частным решением.

Аналогично показывается, что функция тоже является частным решением ДУ (1) (показать самостоятельно).

По рассмотренным случаям для корней квадратного уравнения (2) можно сформулировать следующее правило, с помощью которого составляется ФСЧР и общее решение ЛОДУ(1).

Правило для составления фундаментальной системы частных решений и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

– характеристическое уравнение - корни характеристического уравнения; 1) если - действительные различные корни, то ФСЧР: , ;   2) если - действительные равные корни, то ФСЧР: , ;   3) если - комплексно сопряженные корни, то ФСЧР: , .

Примеры

Записать общие решения следующих дифференциальных уравнений – линейных, однородных, с постоянными коэффициентами:

1) - ЛОДУ II порядка,

его характеристическое уравнение:

- действительные различные корни

Þ ФСЧР: Þ ;

2) - ЛОДУ II порядка,

его характеристическое уравнение:

- равные действительные корни

Þ ФСЧР: ;

3) - ЛОДУ II порядка,

его характеристическое уравнение:

Þ

- комплексно сопряженные корни, в которых

ФСЧР: Þ

;

4) - ЛОДУ IV порядка,

его характеристическое уравнение: ;

- действительные различные корни

- комплексно сопряженные корни, в которых ,

;

ФСЧР: , , ,

.

Поиск по сайту: