Свойство 2 ( о вронскиане частных решений)

Вронскианом, или определителем Вронского двух частных решений и линейного дифференциального уравнения (3) называется такой функциональный определитель:

(4)

Можно вывести выражение вронскиана через коэффициенты ДУ (3).

Действительно, пусть , – это решения ДУ (3)

Þ

Þ ,

то есть вронскиан удовлетворяет ДУ I порядка с разделяющимися переменными

Вместо неопределенного интеграла напишем интеграл с переменным верхним пределом, чтобы подчеркнуть, что произвольные константы интегрирования отделены от функциональной части. Тогда получим общее решение ДУ относительно W(x):

Поставим начальное условие:

Окончательно получаем выражение через коэффициенты ДУ (3) с помощью формулы Остроградского-Лиувилля:

(5)

Из этой формулы следуют два важных свойства вронскиана:

1)	вронскиан частных решений либо равен нулю тождественно, то есть при всех , либо не равен нулю никогда;
2)	чтобы проверить равенство нулю определителя Вронского, достаточно это сделать в какой-нибудь одной точке .

Эти свойства легко объяснить формулой (5), так как в ней показательная функция принимает только положительные значения, следовательно, равенство нулю вронскиана W(x) в любой точке x происходит или не происходит одновременно с его равенством нулю в точке x₀.

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Поиск по сайту:

---