Обобщение теоремы об общем решении на однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Общим решением ЛОДУ n -го порядка

(3')

является функция, равная линейной комбинации n линейно независимых частных решений этого уравнения:

(6')

Здесь

– произвольные постоянные, – линейно независимые частные решения ЛОДУ(3').

Совокупность n линейно независимых частных решений ЛОДУ n -ого порядка называется его фундаментальной системой частных решений (далее – ФСЧР).

Линейная независимость функций ФСЧР проверяется через их вронскиан, который должен быть отличен от нуля:

.

Пример 2

Дано ДУ II порядка, линейное, однородное: . Найти его общее решение.

Решение

По теореме об общем решении линейных однородных уравнений II порядка имеем, что

,

где – произвольные постоянные, – это ФСЧР.

Покажем, что частными решениями данного ДУ являются функции .

Действительно,

- верно; - верно.

Проверяем линейную независимость и :

функции и являются линейно независимыми,

то есть образуют ФСЧР.

Составляем ответ: .

Для нахождения функций , образующих ФСЧР, нет универсального метода, чтобы он работал для любого ЛОДУ. Существует лишь метод для случая ЛОДУ с постоянными коэффициентами. На практике часто эти функции находят методом подбора из тех или иных интуитивных соображений.

Поиск по сайту: