Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений и их систем

Во многих прикладных задачах важным является вопрос о поведении решения ДУ или решения системы ДУ при неограниченном изменении аргумента, или при малом изменении начальных условий, или при малых изменениях других параметров уравнения или системы (коэффициенты). Эти вопросы разбираются в так называемой качественной теории ДУ. Одним из основных вопросов качественной теории ДУ является вопрос об устойчивости решения, который был подробно исследован русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918г.г).

Рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову.

Определение

(1) - решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям (2) Пусть дана система ДУ Будем называть это решение невозмущенным. Есть другое решение системы (1): , удовлетворяющее начальным условиям . Будем называть это решение возмущенным. Решение , удовлетворяющее начальным условиям (2) называется устойчивым по Ляпунову при , если для , сколь малым бы оно ни было, можно указать число такое, что при всех будет , если начальные данные удовлетворяют неравенствам .

Это определение устойчивости является самым простым и наглядным. В качественной теории различают определение устойчивости на промежутке, определение асимптотической устойчивости, определение устойчивости в целом.

Смысл данного определения состоит в том, что при малом изменении начальных условий в системе ДУ соответствующее решение этим условиям мало отличается от предыдущего при всех положительных значениях t.

Пример 1.

1) Рассмотрим одно ДУ

, так как решение у = 1 получается при с = 0.

Очевидно, что решение у = 1 удовлетворяет начальному условию . Назовем это решение невозмущенным и рассмотрим его устойчивость. Для этого построим возмущенное решение как частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию , где

.

Зададим -- произвольно малое число и составим неравенства

так как при , то при неравенство выполняется при , если выполняется число в определении устойчивости решения существует и равно

Таким образом, невозмущенное решение данного ДУ y = 1 является устойчивым при

Пример 2.

Рассмотрим устойчивость решение у = 1. Оно удовлетворяет начальному условию

Возмущенное:

Понятие устойчивости обязательно прорабатывается при численном нахождении частного решения. Приближенное вычисление состоится только в том случае, если искомое частное решение является устойчивым.

Поиск по сайту: