Свойство 3 (о связи линейной независимости частных решений с их вронскианом)

Функции и называются

·	линейно зависимыми, если их отношение равно постоянной величине по ;
·	линейно независимыми, если их отношение есть функция, отличная от постоянной.

Пример 1

1) при любом x≠0 y₁ и y₂ – линейно зависимы;

2) y₁ и y₂ – линейно независимы.

Теорема (о связи линейной независимости частных решений с их вронскианом)

Если и – частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (3),то для их линейной независимости необходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих частных решений был отличен от нуля.

Доказательство

Из определения вронскиана (4) и формулы Остроградского - Лиувилля (5) имеем, что

(*)

Необходимость:

дано, что и –линейно независимые частные решения ДУ (3)

по свойству вронскиана.

Достаточность:

дано, что при любых

и линейно независимы.

Теорема доказана.

Теорема (об общем решении линейного однородного ДУ)

Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (3) является линейная комбинация его двух линейно независимых частных решений: (6) Здесь – произвольные постоянные, – линейно независимые частные решения ЛОДУ (3).

Доказательство

Чтобы доказать, что некоторая функция является общим решением ДУ, нужно показать, что она удовлетворяет следующим требованиям:

· она является решением ДУ, то есть просто удовлетворяет этому ДУ (для функции (6) это выполняется по свойству 1 частных решений ЛОДУ);

· эта функция должна содержать нужное количество произвольных постоянных, совпадающее с порядком ДУ(функция (6) содержит 2 произвольные постоянные, нужные в общем решении ДУ II порядка);

· эта функция должна позволять найти решение любой задачи Коши, поставленной для данного ДУ.

Покажем, что функцией (6) можно удовлетворить последнему требованию.

Начальные условия для ДУ (3): , где – заданные числа.

Подставляем эти начальные условия в функцию (6):

Получилась система двух линейных алгебраических уравнений относительно постоянных и . По теореме Крамера, разрешимость этой системы зависит от ее главного определителя, который совпадает с определителем Вронского частных решений y₁ и y₂:

и по линейной независимости и и свойствам вронскиана (, - линейно независимы Þ для ).

Следовательно, система уравнений относительно и имеет единственное решение при всех . Значит, любая задача Коши функцией (6) может быть решена.

Таким образом, все требования общего решения для функции (6) выполнены, поэтому функция (6) действительно является общим решением ЛОДУ(3), ч.т.д.

Поиск по сайту: