АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Свойство 3 (о связи линейной независимости частных решений с их вронскианом)

Читайте также:
  1. II.5.2. Связи температурного блока
  2. III. Реклама и связи с общественностью в коммерческой сфере.
  3. PR – связи с общественностью
  4. V. Дети - Сознательное самовыражение, дети, творчество, игры, любовные связи
  5. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  6. VI Обжалование решений, действий (бездействия) таможенных органов и их должностных лиц
  7. Административное обжалование решений налоговых органов.
  8. Активность восприятия и значение обратной связи
  9. АЛГОРИТМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
  10. Анализ взаимосвязи актива и пассива баланса
  11. Анализ взаимосвязи двух временных рядов
  12. Анализ взаимосвязи между обобщающими, частными показателями экономической эффективности деятельности предприятия и эффективностью каждого научно-технического мероприятия

 

Функции и называются

· линейно зависимыми, если их отношение равно постоянной величине по ;
· линейно независимыми, если их отношение есть функция, отличная от постоянной.  

 

Пример 1

1) при любом x≠0 y1 и y2 – линейно зависимы;

2) y1 и y2 – линейно независимы.

 

Теорема (о связи линейной независимости частных решений с их вронскианом)
Если и – частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (3),то для их линейной независимости необходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих частных решений был отличен от нуля.

 

Доказательство

Из определения вронскиана (4) и формулы Остроградского - Лиувилля (5) имеем, что

(*)

Необходимость:

дано, что и –линейно независимые частные решения ДУ (3)

по свойству вронскиана.

Достаточность:

дано, что при любых

и линейно независимы.

Теорема доказана.

 

Теорема (об общем решении линейного однородного ДУ)
Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (3) является линейная комбинация его двух линейно независимых частных решений:
(6)
Здесь – произвольные постоянные, – линейно независимые частные решения ЛОДУ (3).
     

 

Доказательство

Чтобы доказать, что некоторая функция является общим решением ДУ, нужно показать, что она удовлетворяет следующим требованиям:

· она является решением ДУ, то есть просто удовлетворяет этому ДУ (для функции (6) это выполняется по свойству 1 частных решений ЛОДУ);

· эта функция должна содержать нужное количество произвольных постоянных, совпадающее с порядком ДУ(функция (6) содержит 2 произвольные постоянные, нужные в общем решении ДУ II порядка);

· эта функция должна позволять найти решение любой задачи Коши, поставленной для данного ДУ.

Покажем, что функцией (6) можно удовлетворить последнему требованию.

Начальные условия для ДУ (3): , где – заданные числа.

Подставляем эти начальные условия в функцию (6):

 

Получилась система двух линейных алгебраических уравнений относительно постоянных и . По теореме Крамера, разрешимость этой системы зависит от ее главного определителя, который совпадает с определителем Вронского частных решений y1 и y2:

и по линейной независимости и и свойствам вронскиана (, - линейно независимы Þ для ).

Следовательно, система уравнений относительно и имеет единственное решение при всех . Значит, любая задача Коши функцией (6) может быть решена.

Таким образом, все требования общего решения для функции (6) выполнены, поэтому функция (6) действительно является общим решением ЛОДУ(3), ч.т.д.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)