Линейные дифференциальные уравнения I порядка

(3)

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется ДУ, имеющее следующую каноническую форму:

Отличительной особенностью линейного ДУ является то, что искомая функция и её производная входят в уравнение линейным образом, то есть только в первых степенях и не перемножаются.

Метод решения линейных дифференциальных уравнений I порядка:

искомую функцию ищем в виде произведения двух функций

, тогда ;

при помощи такой замены линейное ДУ сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

Действительно, заменим и в ДУ(3):

.

Теперь для двух функций и имеем только одно уравнение. Это означает, что можно подчинить эти функции дополнительному условию. Учитывая это, потребуем, чтобы функция удовлетворяла условию

;

(а)

тогда функция будет определяться уравнением

.

(б)

Оба уравнения (а) и (б) являются ДУ с разделяющимися переменными.

Решим ДУ (а) относительно функции :

,

где для удобства работы с постоянной положено ,

;

подберем так, чтобы , тогда получим частное решение ДУ (а):

.

Теперь с найденной функцией решаем уравнение (б) относительно функции :

– это общее решение ДУ (б).

Таким образом, обе функции и находятся как решение ДУ с разделяющимися переменными. Остаётся только лишь общее решение ДУ записать как их произведение . Метод решения линейных уравнений полностью обоснован.

Пример 4

Решить линейное ДУ I порядка .

Решение

Делением обеих частей данного уравнения на приводим его к каноническому виду линейного ДУ:

Положим , тогда

ДУ .

(*)

ДУ относительно :

– частное решение ДУ относительно .

Представляя в ДУ (*), получим ДУ относительно функции :

Þ

– это общее решение ДУ относительно .

Перемножением функций и находим общее решение исходного ДУ:

.

Ответ: .

Дифференциальным уравнением Бернулли, или обобщенным линейным ДУ I порядка называется ДУ, имеющие следующую каноническую форму:

(4)

если , то это линейное ДУ;

если , то это ДУ с разделяющимися переменными.

Метод решения дифференциального уравнения Бернулли:

заменой дифференциальное уравнение Бернулли сводится к двум ДУ с разделяющимися переменными.

Обоснование метода проводится аналогично тому, как это было сделано для линейного ДУ.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения Бернулли

, .

Решение

Искомую функцию ищем в виде произведения двух функций:

.

Тогда ДУ

(*)

ДУ для :

.

ДУ для :

.

Общее решение исходного ДУ: .

Теперь используем начальное условие .

Подставляя значения и в общее решение, получим уравнение для определения : .

Возвращаем найденное значение в общее решение и получаем частное решение ДУ, соответствующее поставленному начальному условию (решение задачи Коши):

.

Ответ: .

Поиск по сайту: