АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные дифференциальные уравнения I порядка

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. I I. Тригонометрические уравнения.
  3. I Классификация кривых второго порядка
  4. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  5. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  6. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  7. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  8. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  9. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  10. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  11. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  12. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
(3)

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется ДУ, имеющее следующую каноническую форму:

 

Отличительной особенностью линейного ДУ является то, что искомая функция и её производная входят в уравнение линейным образом, то есть только в первых степенях и не перемножаются.

 

Метод решения линейных дифференциальных уравнений I порядка:

искомую функцию ищем в виде произведения двух функций

, тогда ;

при помощи такой замены линейное ДУ сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

Действительно, заменим и в ДУ(3):

.

Теперь для двух функций и имеем только одно уравнение. Это означает, что можно подчинить эти функции дополнительному условию. Учитывая это, потребуем, чтобы функция удовлетворяла условию

; (а)

тогда функция будет определяться уравнением

. (б)

Оба уравнения (а) и (б) являются ДУ с разделяющимися переменными.

Решим ДУ (а) относительно функции :

,

где для удобства работы с постоянной положено ,

;

подберем так, чтобы , тогда получим частное решение ДУ (а):

.

Теперь с найденной функцией решаем уравнение (б) относительно функции :

– это общее решение ДУ (б).

Таким образом, обе функции и находятся как решение ДУ с разделяющимися переменными. Остаётся только лишь общее решение ДУ записать как их произведение . Метод решения линейных уравнений полностью обоснован.

 

Пример 4

Решить линейное ДУ I порядка .

Решение

Делением обеих частей данного уравнения на приводим его к каноническому виду линейного ДУ:

Положим , тогда

ДУ . (*)

ДУ относительно :

– частное решение ДУ относительно .

Представляя в ДУ (*), получим ДУ относительно функции :

 

Þ

– это общее решение ДУ относительно .

Перемножением функций и находим общее решение исходного ДУ:

.

Ответ: .

 

2.5. Дифференциальные уравнения Бернулли

Дифференциальным уравнением Бернулли, или обобщенным линейным ДУ I порядка называется ДУ, имеющие следующую каноническую форму:

(4)

если , то это линейное ДУ;

если , то это ДУ с разделяющимися переменными.

Метод решения дифференциального уравнения Бернулли:

заменой дифференциальное уравнение Бернулли сводится к двум ДУ с разделяющимися переменными.

Обоснование метода проводится аналогично тому, как это было сделано для линейного ДУ.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения Бернулли

, .

Решение

Искомую функцию ищем в виде произведения двух функций:

.

Тогда ДУ (*)

ДУ для :

.

ДУ для :

.

Общее решение исходного ДУ: .

Теперь используем начальное условие .

Подставляя значения и в общее решение, получим уравнение для определения : .

Возвращаем найденное значение в общее решение и получаем частное решение ДУ, соответствующее поставленному начальному условию (решение задачи Коши):

.

Ответ: .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)