Однородные дифференциальные уравнения I порядка

Определение однородной функции двух переменных

Функция двух переменных называется однородной функцией степени однородности k, если выполняется равенство , где переменная принимает любые значения, кроме 0.

Пример 2

1)	­¾ это однородная функция степени однородности, так как ;
2)	¾ это однородная функция степени однородности, так как ;
3)	¾ это однородная функция степени однородности, так как .

Однородным дифференциальным уравнением I порядка называется ДУ, имеющее следующий общий вид:

,

где и – однородные функции одинаковой степени однородности.

Каноническая форма однородного ДУ I порядка:

(2)

Отличительной особенностью ДУ(2) является то, что его правая часть зависит только от отношения искомой функции y к её аргументу x.

Ниже показан переход от однородного уравнения общего вида к его канонической форме.

Суть метода решения однородных ДУ:

при помощи замены однородное ДУ сводится к ДУ с разделяющимися переменными.

Действительно, если заменить , то есть , то .

Подставим эту замену в ДУ(2):

Получили ДУ с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя обе части (с добавлением const), приходим к общему интегралу однородного ДУ:

.

Пример 3

Решить однородное ДУ при условии :

Решение

Делим обе части данного уравнения на и этим приводим к его к канонической форме однородного ДУ: .

Подставляем и в ДУ: ;

получили ДУ с разделяющимися переменными относительно функции .

Разделяем переменные и интегрируем обе части с добавлением постоянной:

Выполнив обратную замену , приходим к общему интегралу исходного ДУ:

От общего интеграла переходим к общему решению, разрешая последнее равенство относительно :

Ответ: .

Поиск по сайту: