Матричная модель прогнозирования состояния древостоев

Матричная модель динамики состояния древостоев основана на балансе числа деревьев с учетом их жизненного состояния. В том случае когда не учитывается пополнение древостоя за счет подроста и выбытие отмерших деревьев такой баланс имеет следующий вид (Алексеев,1985):

5 5

m_j (t+1)= m_j(t) + å m_ij(t) - å m_ji (t), (61)

i=1 i=1

i¹j i¹j

где, m_j (t) - число деревьев, находящихся в момент времени t в i-й категории состояния, i=1,...,5; m_ij (t)-число деревьев, переместившихся из категории состояния i в категорию состояния j к моменту времени t+1. Пусть

m_jj (t) = m_j (t) - å m_ji (t),

i=1

i¹j

где, m_jj(t) - число деревьев категории состояния j, не изменивших ее к моменту времени t+1, тогда соотношение (61) примет следующий вид:

m_j (t+1) = å m_ij(t), j=1,...,5.

i=1

Процессы переходов деревьев из состояния в состояние имеют стохастическую природу и поэтому могут быть описаны лишь в среднем. Пусть p_ij - вероятность перехода дерева из категории состояния i в категорию состояния j. Тогда баланс численностей деревьев по категориям состояния примет следующий вид:

m_j (t+1) = å m_i (t) p_ij, j=1,...,5,

i=1

или в векторно-матричных обозначениях:

m (t+1) = m (t) P,

oчевидно, что å p_ij = 1.

j=1

Tаким образом, если известна матрица P и вектор m(0)- распределение общей численности деревьев насаждения по категориям состояния в начальный момент времени, то можно определить такое распределение в любой последующий момент времени:

m(t) = m(0) P^t

Элементы матрицы могут быть оценены на основе учета распределения деревьев по категориям состояния за ряд последующих лет. Матрица P имеет следующую структуру:

Q R

P =,

O 1

где единица соответствует поглощающему состоянию, из которого переходы в какое-либо другое состояние невозможны. В нашем случае это пятая категория состояния, соответствующая отмершим деревьям. Определение временных характеристик разрушения насаждений можно сделать зная элементы матрицы P, предварительно предположив, что они не изменяются во времени. Содержательно это предложение означает неизменность в целом во времени интенсивности антропогенного воздействия и с известными оговорками может быть принято.

Пусть n_ij - среднее число шагов до попадания из состояния с номером i в непоглощающее состояние с номером j, матрица N = n_ij i, j =1,4, можно показать, что N = (1 - Q)^-1, тогда среднее число шагов m_i, необходимых для попадания из состояния i в первое поглощающее состояние, определяется следующим образом:

m_i = n_i1 + n_i2 +... + n_i4

Величина d=max m_i характеризует число шагов, необходимое для разрушения насаждения в целом, и, наконец, зная длительность по времени одного шага - t можно приближенно оценить время T жизни насаждения:

T = d*t.

В случае переходов деревьев под воздействием атмосферного загрязнения в сторону только худших соседних категорий состояния интересующие нас матрицы Q и N принимают следующий простой вид:

p₁₁ p₁₂ 0 0

Q= 0 p₂₂ p₂₃ 0

0 0 p₃₃ p₃₄

0 0 0 p₄₄

1/(1-p₁₁) 1/(1-p₂₂) 1/(1-p₃₃) 1/(1-p₄₄)

N = (I - Q)^-1 = 0 1/(1-p₂₂) 1/(1-p₃₃) 1/(1-p₄₄)

0 0 1/(1-p₃₃) 1/(1-p₄₄)

0 0 0 1/(1-p₄₄)

Исходные данные для расчета переходных вероятностей приведены в табл.27.

Поиск по сайту: