Методика измерения параметров тренда

Когда тип тренда установлен, необходимо вычислить оптимальные значения параметров тренда исходя из фактических уровней. Для этого обычно используют метод наименьших квадратов. Его значение уже рассмотрено в предыдущих главах учебного пособия, в данном случае оптимизация состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выравненных уровней (от тренда). Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решая которую вычисляют параметры тренда. Рассмотрим лишь три такие системы: для прямой, для параболы 2-го порядка и для экспоненты. Приемы определения параметров других типов тренда рассматриваются в специальных монографиях.

Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

477

478

Рассчитанные по уравнениям трендов уровни записаны в трех последних графах табл. 12.6. Как видно по этим данным, расчетные значения уровней по всем трем видам трендов различаются ненамного, так как и ускорение параболы, и темп роста экспоненты невелики. Существенное отличие имеет парабола — рост уровней с 1998 г. прекращается, в то время как при линейном тренде уровни растут и далее, а при экспоненте их рост ускоряется. Поэтому для прогнозов эти три тренда неравноправны: при экстраполяции параболы на будущие годы уровни резко разойдутся с прямой и экспонентой, что видно из табл. 12.7. В этой таблице представлена распечатка решения на ПЭВМ по программе «Statgraphics» тех же трендов. Отличие их свободных членов от приведенных выше объясняется тем, что программа нумерует года не от середины, а от начала, так что свободные члены трендов относятся к 1988 г., для которого / = 0. Уравнение экспоненты на распечатке составлено в логарифмированном виде. Прогноз сделан на 5 лет вперед, т.е. до 2004 г. При изменении начала координат (отсчета времени) в уравнении параболы меняется и средний абсолютный прирост, параметр Ь, так как в результате отрицательного ускорения прирост все время сокращается, а его максимум — в начале периода. Константой параболы является только ускорение.

В строке «Data» приводятся уровни исходного ряда; «Forecast summary» означает сводные данные для прогноза. В последних трех строках приведены результаты по уравнению прямой, по уравнению параболы и по экспоненте в логарифмическом виде. Графа ME означает среднее расхождение между уровнями исходного ряда и уровнями тренда (выравненными). Для прямой и параболы это расхождение всегда равно нулю. Уровни экспоненты в среднем на 0,48852 ниже уровней исходного ряда. Точное совпадение возможно, если истинный тренд — экспонента; в данном случае совпадения нет, но различие мало. Графа MSE — это дисперсия s1, мера колеблемости фактических уровней относительно тренда, о чем сказано в подразд. 12.7. Графа MSE — среднее линейное отклонение уровней от тренда по модулю (см. подразд. 5.8); графа МАРЕ — относительное линейное отклонение в процентах. Здесь они приведены как показатели пригодности выбранного вида тренда. Меньшую дисперсию и модуль отклонения имеет парабола:

она за период 1989—1999 гг. ближе к фактическим уровням. Но выбор типа тренда нельзя сводить лишь к этому критерию. На самом деле замедление прироста есть результат большого отрицательного отклонения, т.е. неурожая в 1999 г.

Применение методики скользящего выравнивания можно рассматривать, как видно из приведенных расчетов, только при достаточно большом числе уровней ряда, как правило, 15 и более. Рассмотрим эту методику на примере данных табл. 12.5 — динамики цен на нетопливные товары развивающихся стран,

что опять же дает возможность читателю участвовать в небольшом научном исследовании. На этом же примере продолжим рассмотрение методики прогнозирования в подразд. 12.10.

Если вычислять в нашем ряду параметры по 11-летним периодам (по 11 уровням), то L = 17 + 1 - 11 = 7. Смысл многократного скользящего выравнивания в том, что при последовательных сдвигах базы расчета параметров на концах ее и в середине окажутся разные уровни с разными по знаку и величине отклонениями от тренда.

Поэтому при одних сдвигах базы параметры будут завышаться, при других — занижаться, а при последующем усреднении значений параметров по всем сдвигам базы расчета произойдет дальнейшее взаимопогашение искажений параметров тренда колебаниями уровней.

Многократное скользящее выравнивание не только позволяет получить более точную и надежную оценку параметров тренда, но и осуществить контроль правильности выбора типа уравнения тренда. Если окажется, что ведущий параметр тренда, его константа, при расчете по скользящим базам не беспорядочно колеблется, а систематически изменяет свою величину существенным образом, значит, тип тренда был выбран неверно, данный параметр константой не является.

Что касается свободного члена при многократном выравнивании, то нет необходимости и, более того, просто неверно вычислять его величину как среднюю по всем сдвигам базы, потому что при таком способе отдельные уровни исходного ряда входили бы в расчет средней с разными весами и сумма выравненных уровней разошлась бы с суммой членов исходного ряда.

ния долгопериодических (циклических) колебаний на параметры тренда число сдвигов базы должно быть равно или кратно длине цикла колебаний. Тогда начало и конец базы будут последовательно «пробегать» все фазы цикла и при усреднении параметра по всем сдвигам его искажения от циклических колебаний будут взаимопогашаться. Другой способ — взять длину скользящей базы, равной длине цикла, чтобы начало и конец базы всегда приходились на одну и ту же фазу цикла колебаний.

Поскольку по данным табл. 12.5 уже было установлено, что тренд имеет линейную форму, проводим расчет среднегодового абсолютного прироста, т.е. параметра b уравнения линейного тренда, скользящим способом по 11-летним базам (табл. 12.8).

В этой же таблице приведен расчет данных, необходимых для последующего изучения колеблемости в подразд. 12.7. Остановимся подробнее на методике многократного выравнивания по скользящим базам.

Итак, индекс цен в среднем за год снижался на 1,433 пункта. Однократное выравнивание по всем 17 уровням может исказить этот параметр, так как начальный уровень содержит значительное отрицательное отклонение, а конечный уровень — положительное. В самом деле, однократное выравнивание дает величину среднегодового снижения индекса цен всего на 0,953 пункта.

Таблица 12.8 Многократное скользящее выравнивание по прямой

Поиск по сайту: