Квадратурная формула Гаусса
Пусть функция y=f(x) задана на промежутке [-1,1]. Нужно подобрать узлы квадратурного правила и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула
(13)
была точной для всех полиномов f(x) наивысшей степени m=2n-1, т.к. имеем 2m неизвестных , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами. Остаточный член обращается в нуль, когда , где Сi=const, i=0,¼,m. Тогда
Учитывая соотношение: , получаем систему 2n уравнений относительно :
(14)
Система (14) нелинейная, и её исследование громоздко. Поэтому воспользуемся теоремой:
для того чтобы квадратурная формула (13) интерполяционного типа была точна для всех многочленов степени не выше 2n-1, необходимо и достаточно, чтобы ее узлы xj,были корнями многочлена wn(x), ортогонального на [-1;1] к любому многочлену степени не выше n.
Ортогональную систему многочленов, имеющих n различных действительных корней на [-1;1], образуют многочлены Лежандра
(15)
Итак, в квадратурной формуле с n узлами, имеющей наивысшую степень точности 2n-1, узлы xj,j=1,...,n являются корнями многочлена Лежандра n-ой степени, а из системы (14), зная xj легко найдем Аj.
Для произвольного интервала[a,b] сделаем замену . В этом случае формула Гаусса примет вид
. (16)
Таблица узлов и коэффициентов формулы Гаусса 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | Поиск по сайту:
|