Плотность состояний

Определим число квантовых состояний Z(E), которым обладает микрочастица в интервале энергий от E до E+dE.

В случае идеального газа (потенциальной энергией взаимодействия микрочастиц можно пренебречь)

, (6.14)

поэтому можно сначала подсчитать число квантовых состояний Z(p), которые соответствуют микрочастице в импульсном интервале p, p+dp, а уже потом перейти на язык энергий.

Рассмотрим пространство импульсов. Проведем в этом пространстве две сферы радиусом p и p+dp, рис. 6.7. На рисунке для простоты изобразим двух-координатную систему, так как нас не интересует направление вектора p, а только его величина. Все частицы с импульсами, лежащими в интервале p, p+dp находятся в шаровом слое с объемом 4pp²dp. Число квантовых состояний для частиц с такими импульсами:

Z(p) = . (6.15)

С учетом соотношений (6.12) и (6.13) перепишем уравнение (6.15) в виде

Z(p) = . (6.16)

Перейдем теперь к Z(E), записав

p²=2mE; p=(2mE)^1/2; dp= (2m)^1/2E^-1/2dE (6.17)

и подставив полученные выражения в (6.16). В результате имеем

. (6.18)

Плотность числа квантовых состояний g(E) определяется выражением

, (6.19)

поэтому

. (6.20)

Плотность состояний g(E) - это число квантовых состояний микрочастицы, приходящихся на единичный интервал энергии.

Из уравнения (6.20) и рис.6.8 видно, что с ростом E плотность состояний увеличивается пропорционально E^1/2. Влияет на g(E) масса частицы m и объем пространства V (6.20).

Следует отметить, что полученный результат нуждается в некотором уточнении.

Строго говоря, с каждой элементарной ячейкой фазового пространства необходимо отождествлять не одно, а несколько состояний микрочастицы (2s+1), учитывающих наличие спина. В результате

. (6.21)

Учет спина увеличивает число состояний для электрона в 2 раза.

Интегрируя (6.21) по энергии в пределах от 0 до E, получим общее число состояний микрочастицы, соответствующее энергетическому диапазону от 0 до E:

. (6.22)

Полагая для идеального газа микрочастиц , имеем

Q(T)~T^3/2. (6.23)

Вспомним, что при мы имели вырожденный газ, а при N<<Q - невырожденный. Ясно, что с увеличением температуры можно существенно увеличить число квантовых состояний Q (см. уравнение 6.23) и перевести вырожденный газ в невырожденный, то есть перейти от квантовой статистики к статистике Максвелла-Больцмана. Если переписать условие невырожденности газа микрочастиц в виде

, (6.24)

и подставить Q из выражения (6.22), то критерий невырожденности приобретает более развернутый характер:

. (6.25)

Из (6.25) становится понятно, что невырожденное состояние газа можно достигнуть и путем уменьшения концентрации n = N/V.

Молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными. Электронный газ в металлах в реальных условиях - вырожден. В полупроводниках, где концентрация электронов существенно меньше, чем в металлах, электронный газ - невырожден (оценим на практических занятиях).

Поиск по сайту: