Пример:

Одной из основных задач теории твердого тела является определение зависимости энергии электрона от его импульса. Ее решают только с помощью ряда упрощений:

- пренебрегают тепловым движением ионов - адиабатическое приближение;

- рассматривают движение электрона в результирующем поле других электронов и атомов - одноэлектронное приближение;

- в приближении слабой связи внешних электронов атома потенциальную функцию электрона U (r) считают периодической, с периодом равным постоянной кристаллической решетки (модель кристалла в виде трехмерного потенциального ящика со слаборифленым дном).

Решением уравнения Шредингера в этом случае будет волновая функция (функция Блоха)

, (9.7)

где u (r) - пространственно периодическая функция с периодом, равным постоянной решетки. Таким образом, волновая функция свободного электрона в кристалле является модулированной плоской волной.

В этой ситуации зависимость Е=f (k), в частности, приобретает следующий вид (рис.9.8):

Рис 9.8

В кристалле внутри каждой зоны энергия свободного электрона растет с увеличением волнового числа k, а при значениях

, (9.8)

где n =±1, ±2,..., энергия претерпевает разрыв, приводящий к образованию запрещенных зон.

Если подставить в выражение (9.8) соотношение , получим

, (9.9)

что хорошо соотносится с известной формулой Вульфа-Брэгга , выражающей условие отражения волн от плоскостей решетки для случая, когда угол скольжения . То есть электроны с такой длиной волны, двигаясь перпендикулярно плоскостям решетки, испытывают полное внутреннее отражение и распространяться в кристалле не могут.

Области значений k, в пределах которых энергия электрона изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв, называются зонами Бриллюэна.

Поиск по сайту: