Функция распределения. Фазовое пространство

Допустим, что частица движется вдоль оси x. Нас интересует вероятность того, что она находится в интервале x, x+dx, рис.6.3:

одномерный случай

dW(x)=f(x)dx. (6.2)

В данном случае f(x) - функция распределения, которая показывает вероятность того, что частица находится в единичном интервале вдоль оси x при данном x.

Если частица движется в плоскости x, y и нас интересует вероятность ее попадания в интервалы x, x+dx и y, y+dy, то

dW(x,y)=dw(x)dw(y). (6.3)

Это и понятно, так как оба события, что частица окажется в интервале x, x+dx и y, y+dy являются случайными и независимыми, и общая их вероятность равна произведению:

dW(x,y)=f(x)dxf(y)dy=f(x,y)dxdy. (6.4)
По аналогии в трехмерном случае:

dW(x,y.z)=f(x)f(y)f(z)dxdydz

f(x,y,z)= f(x)f(y)f(z); dV= dxdydz;

dW(x,y,z) =f(x,y,z)dV, (6.5)

где dV - элемент объема.

Если частицы равномерно распределены по объему: f(x) = f(y) = f(z) = a, то:

dW(x,y,z)=a³dV. (6.5)

Суммарная вероятность, что частица обнаружится в объеме V равна

a³dV, (6.6)

в результате a³= и dW(x,y,z)= . (6.8)

Обратимся теперь к рассмотрению фазового пространства. Каждая частица в идеальном газе может характеризоваться координатами x, y, z и составляющими импульса по каждой из осей p_x , p_y, p_z. Формально можно представить шестимерное пространство с соответствующими осями, которое называется фазовым. В этом шестимерном прстранстве каждая частица должна изображаться точкой, которая называется фазовой точкой. С течением времени координата и импульс частицы будут изменяться, получим цепочку точек или фазовую траекторию.

Равномерное движение Классический гармонический вдоль оси x осциллятор Рис.6.5

Вспомним типичные фазовые траектории, которые мы уже обсуждали в прошлом семестре для классических частиц, рис.6.5.

В квантовой механике возможны отличия, например, энергия квантового осциллятора квантуется, поэтому для квантового гармонического осциллятора надо рисовать систему эллипсов.

Если перейти к шестимерному пространству, то вероятность обнаружить частицу в элементе объема этого пространства:

dW(x,y,z,p_x , p_y , p_z ) = f(x)f(y)f(z) f(p_x )f(p_y )f(p_z ) dx dy dz dp_x dp_y dp_z , (6.9)

где dФ = dx dy dz dp_x dp_y dp_z - элемент объема шестимерного пространства.

Если частицы равномерно распределены по объему, то согласно (6.8):

dW(x,y,z,p_x,p_y,p_z) = 1/V f(p_x )f(p_y )f(p_z ) dФ. (6.10)

Если не имеют значения координаты частиц:

dW(x,y,z,p_x,p_y,p_z) = f(p_x )f(p_y )f(p_z ) dФ_p , (6.11)

где dФ_p - элемент объема в пространстве импульсов.

При таких ограничениях, сопоставляя (6.10) и (6.11), имеем

dФ_p= . (6.12)

Поиск по сайту: