Квантование энергии

Потенциальной ямой называется ограниченная область пространства, в которой потенциальная энергия рассматриваемой частицы меньше, чем вне этого пространства. Одномерная модель прямоугольной потенциальной ямы высотой U₀ показана на рис. 3.1. При этом обычно любопытны два состояния: когда частица находится внутри ямы, или, преодолев потенциальный барьер, вышла из неё. С подобной ситуацией мы уже сталкивались и ещё встретимся при рассмотрении выхода электрона из металла.

В качестве полезного частного случая рассмотрим поведение микро-частицы в одномерном прямоугольном бесконечно глубоком потенциальном ящике (рис. 3.2), где

Заметим, что с классической точки зрения микрочастица может нахо-диться в таком ящике с вероятностью, которая не зависит от x и с произвольным значением кинетической энергии.

С позиций квантовой механики ситуация изменяется. Запишем уравнение Шредингера для свободной микрочастицы (одномерная модель, ур-е 2.21) применительно к микрочастице, находящейся в бесконечно глубоком потенциальном ящике, где U=0 (рис. 3.2, область II):

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

С введением граничных условий:

имеем

x=0; y(0):

То есть B=0, откуда y=Asin(kx), и далее

x=a; y(a)=0: Asin(ka)=0, что означает

где n=1,2,3,...,¥ (кроме n=0, что предполагает отсутствие микрочастицы в потенциальном ящике).

Таким образом, волновая функция микрочастицы, заключенной в потенциальный ящик с бесконечно глубокими стенками, имеет вид

Графики полученных волновых функций y и плотности вероятности обнаружения микрочастицы на различных расстояниях от стенок ящика yy^*, в качестве примера, показаны на рис. 3.3 ¸ 3.5.

Условие (3.6) можно записать в виде

откуда

то есть на ширине ящика укладывается целое число полуволн (стоячая волна).

При n=1 наиболее вероятным будет пребывание частицы в центре потенциального ящика, при n=2 на расстоянии a/4 от его бортов, и при больших n мы приближаемся к классическому случаю равной вероятности местонахождения микрочастицы.

Рассмотрим теперь энергию микрочастицы с учётом соотношения (3.6):

Таким образом, энергия микрочастицы, помещённой в потенциальную яму, квантуется (принимает дискретный ряд значений). Схема уровней энергии

микрочастицы в потенциальном ящике и вид функции yy^* показаны на рис. 3.6. Минимальное значение энергии микро-частицы в потенциальной яме не равно нулю, то есть она находится в постоян-ном движении.

DxDpx= =h

Поскольку уравнение Шредингера обусловлено принципом неопределён-ности, можно показать, что наличие минимальной энергии E₁ у микро-частицы предсказывается этим со-отношением. Так, согласно рис. 3.2, неопределённость в положении микро-частицы Dx=a, а неопределённость в её импульсе Dp_x=2p (движение вдоль оси x). В результате

и с учётом получаем

что полностью соответствует (3.10) при n=1. Заметим, что n, характеризующее энергетическое (в целом пространствен-ное) положение микрочастицы в потенциальной яме получило название главного квантового числа.

Согласно (3.10) расстояние между соседними энергетическими уровнями для частиц различной массы m в ящике шириной a составляет

Если a или m устремить в бесконечность (a®¥, m®¥), то расстояние между энергетическими уровнями становится бесконечно малым, то есть приходим к свободной микрочастице. Для лёгких частиц, при малых областях локализации, увеличивается минимальное значение энергии, и резко растёт расстояние между соседними уровнями (этим объясняется отсутствие электронов внутри или в непосредственной близости от атомного ядра).

Для нахождения коэффициента A в выражении (3.7) воспользуемся условием нормировки для волновой функции y:

откуда и

Результаты, полученные для одномерного движения, могут быть обобщены для трёхмерного потенциального ящика. Волновая функция в этом случае имеет вид

y(x,y,z)= Cei kr =

где и

n_x=1,2,..., n_y=1,2,..., n_z=1,2,....

Энергия микрочастицы в этом случае также квантуется:

Поиск по сайту: