Колебания кристаллической решетки

Атомы твердых тел совершают тепловые колебания около положений равновесия.

Вследствие взаимного влияния атомов друг на друга, характер этих тепловых колебаний очень сложный и для их описания прибегают к некоторым допущениям:

1) Прежде всего считают, что колебания атомов описываются гармоническим законом - гармоническое приближение.

2) Вместо описания индивидуальных колебаний многих частиц рассматривают их коллективное движение в пространственно упорядоченной системе, которой является кристалл. Такое упрощение обосновывается тем, что вследствие действия мощных сил связи колебание, возникшее у конкретной частицы, немедленно передается соседним частицам и в кристалле возбуждается коллективное движение в форме упругой волны, охватывающей все атомы кристалла. Такое коллективное движение образует упругие стоячие волны и называется нормальным колебанием решетки.

Так как каждый атом кристаллической решетки имеет три колебательных степени свободы, число атомов - N, то получаем 3N нормальных колебаний в кристалле.

Рис 9.3

Прикинем интервал возможных частот:

, (9.1)

где u - фазовая скорость распространения упругих волн в кристалле;

. (9.2)

Таким образом, даже для одномерной модели спектр частот очень разнообразен, а его верхний предел определяется параметрами материала.

Изобразим весь набор частот колебаний атомов в зависимости от или волнового числа , дисперсионную кривую, рис.9.4. При малых длинах волн имеет место отклонение от линейной зависимости , так как сильно проявляется зависимость скорости u от (дисперсия). Данная дисперсионная ветвь получила название акустической, так как соответствует частотам звукового диапазона. Поскольку N велико, то изменения k можно рассматривать как квазинепрерывные.

В общем случае рассмотренная колеблющаяся цепочка может состоять из атомов разного сорта. В такой системе развиваются не только акустические, но и так называемые оптические колебания (играют основную роль в процессах взаимодействия света с кристаллом). Примером оптических колебаний является случай, когда соседние атомы цепочки, состоящей из последовательно чередующихся атомов двух сортов, колеблются в противоположных фазах. Дисперсионная кривая развивающихся оптических нормальных колебаний показана на рис.9.4.

Пока мы рассматривали поперечные колебания, но существуют и продольные, а поскольку направлений три и возможны отличающиеся постоянные решетки, то наблюдается большое число дисперсионных ветвей.

Фононы

Известно, что энергия квантового осциллятора квантуется:

(9.3)

Естественно, что квантоваться должна и энергия нормальных колебаний решетки. Минимальным квантом энергии этих колебаний является

, (9.4)

такой квант называется фононом.

Фононы, которые соответствуют набору частот на нижней ветви дисперсионной кривой называются акустическими, верхней - оптическими.

Фонон - это квазичастица и его нельзя представить отдельно от кристалла. Подобно тому, как электромагнитное поле равновесного излучения можно моделировать как фотонный газ, поле упругих колебаний, развивающихся в кристалле, можно трактовать как фононный газ. Как и фотон фонон обладает не только энергией, но и импульсом:

(9.5)

Импульс фонона больше, чем у фотона, так как u < c.

Спин фонона равен нулю, и фононный газ подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна. Электроны могут взаимодействовать с фононами путем передачи импульса. В гармоническом приближении фононы между собой не взаимодействуют.

С увеличением температура общее число фононов растет, так как увеличивается размах колебаний. Теоретические оценки дают

в области низких температур,

в области высоких температур. (9.6)

Разграничительным фактором является температура Дебая - характеристическая температура твердого тела (T << , T>> ), определяемая из соотношения , где - предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки.

Поиск по сайту: