Уравнение Шредингера для водородоподобного атома

Водородоподобным называется атом, у которого рассматривается взаимодействие ядра с одним конкретным электроном.

Энергия атомов, находящихся в основном состоянии, со временем не меняется, поэтому поведение электронов в атоме можно описывать уравнением Шредингера для стационарных состояний. При этом, поскольку атом - сферическое образование, удобно записывать это уравнение в сферической системе координат. Основные представления о сферической системе координат дает рис.4.5.

В данном случае r - радиус-вектор, характеризующий искомую точку N. Положение этой точки задается тремя параметрами:

.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет следующий вид:

, (4.8)

где потенциальная энергия электрона (z — заряд ядра), а D в нашем случае оператор Лапласа в сферической системе координат.

Раскрывая уравнение (4.8) имеем:

. (4.9)

В общем случае уравнение (4.9) есть не что иное, как известное в математике трехмерное дифференциальное уравнение Гельмгольца

, (4.10)

которое можно решить методом разделения переменных (с подобной ситуацией мы уже сталкивались в лекции № 2).

В этом случае допускаем, что y имеет вид:

. (4.11)

Подробное решение уравнения (4.9) рассмотрим на практических занятиях (см. также пособие: Чертов А.Г., Воробьев А.А. “Задачник по физике” М., ВШ., 1988 - задачи № 47.1, 47.13).

Оказывается, что образующиеся обыкновенные дифференциальные уравнения для каждой переменной r, q и j имеют решения, если энергия электрона, связанного с ядром, принимает дискретные значения

, (4.12)

где n= 1, 2, 3,..., а l= 0, 1, 2,..., n-1 и m = -l, -l+1,..., -1, 0, 1 ,..., l-1, l (всего 2l+ 1 значений). Заметим, что уравнение (4.12) было получено нами ранее из теории Бора.

Таким образом, в целом решением уравнения Шредингера в сферической системе координат является волновая функция , зависящая от квантовых чисел n, l, m.

Радиальная функция R_n,l(r) имеет следующий вид:

. (4.13)

Для атома водорода, находящегося в основном состоянии (n= 1), g(r) = const = C, а b имеет смысл радиуса первой боровской орбиты

= 5,29^.10^{-9 см (4.14)}

Согласно (2.11) вероятность обнаружить частицу в элементе объема dV равна

, (4.15)

откуда, с учетом того, что при n= 1 волновая функция y не зависит от j и q, запишем вероятность нахождения электрона в объеме шарового слоя с радиусами r и r+dr как

(4.16)

или

. (4.17)

В этом случае радиальная плотность вероятности r(r) определяется выражением вида:

, (4.18)

которому соответствует рис.4.6.

Таким образом, с квантовомеханической точки зрения радиус первой боровской орбиты имеет смысл расстояния от ядра, на котором плотность вероятности найти частицу имеет наибольшее значение.

Как показывают детальные расчеты для водородоподобных атомов волновые функции y₂₀₀, y₃₀₀ и т.д. (l= 0) зависят только от r, и плотность электронного облака вокруг ядра имеет сферическую симметрию. В других случаях, например, при l= 1, функция y зависит от углов q и j, и сферическая симметрия электронного облака нарушается, оно приобретает вид своеобразных гантелей.

Поиск по сайту: