Волна разрежения в совершенном газе

Выпишем систему уравнений гидродинамики:

(4.1.1)

Введем новую переменную

. (4.1.2)

Тогда

,

,

В результате из (4.1.1) получим

где ' – обозначает производную по .

Используя (4.1.2), найдем

(4.1.3)

Таким образом, система уравнений в частных производных (4.1.1) перешла в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (4.1.3). В этом случае задача по решению системы (4.1.1) или (4.1.3) и ее решение называются автомодельными.

В качестве замыкающего систему (4.1.3) соотношения возьмем

или . (4.1.4)

Систему уравнений (4.1.3) и (4.1.4) преобразуем к виду

(4.1.5)

Найдем решение системы (4.1.5). Выразим из первого уравнения (4.1.5) и подставим во второе, получим

.

Следовательно,

и

. (4.1.6)

Исключая из системы уравнений (4.1.5) , получим

. (4.1.7)

Знаку “+” в (4.1.6) соответствует знак “–” в (4.1.7) и наоборот. В этом можно убедиться, подставив (4.1.7) в систему (4.1.5). Используя (4.1.4), интеграл (4.1.6) можно преобразовать к виду

. (4.1.8)

Процесс расширения газа является изоэнтропическим, и в качестве его уравнения состояния примем адиабату Пуассона

. (4.1.9)

Скорость звука

. (4.1.10)

С учетом (4.1.9) имеем

. (4.1.11)

Подставим (4.1.11) в (4.1.6). Тогда после интегрирования в пределах от до получим

. (4.1.12)

Рассмотрим волну разрежения, т. е. пусть , тогда в силу (4.1.9) и в силу (4.1.11).

Рассмотрим решение со знаком “+”:

(4.1.13)

Из (4.1.13) следует, что и

. (4.1.14)

Рассмотрим решение со знаком “–”:

(4.1.15)

В этом случае и

. (4.1.16)

Выражения (4.1.13) и (4.1.15) можно объединить:

. (4.1.17)

Поскольку , то

. (4.1.18)

Это неравенство определяет максимально достижимую скорость газа в волне разрежения.

Таким образом, существует два решения (см. рис. 1.11):

1). газ течёт влево:

Рис. 1.11.

(4.1.19)

2). газ течёт вправо:

(4.1.20)

Остальные параметры можно найти, используя уравнение адиабаты Пуассона и (4.1.11):

, , . (4.1.21)

Поиск по сайту: