Скорость ударной волны

Скорость ударной волны в совершенном газе. Определим скорость распространения ударной волны в совершенном газе. Предположим, что изначально газ покоится . Тогда согласно (2.1.2)

. (2.3.1)

Используя уравнение (2.2.7), в котором исключим с помощью (2.2.12), найдем, что

.

Заметим, при , .

Итак,

. (2.3.2)

Рассмотрим асимптотическое поведение скорости сильных и слабых ударных волн. Для сильных волн

. (2.3.3)

Для слабых –

. (2.3.4)

Квадрат скорости ударной волны пропорционален тангенсу угла наклона между отрезком, соединяющим начальное и конечное состояния на ударной адиабате, и осью абсцисс (см. рис. 1.7). Действительно, тангенс этого угла есть

,

. (2.3.5)

Рис. 1.7.

Заметим, что тангенс угла наклона касательной

.

Следовательно,

.

Таким образом, квадрат скорости ударной волны пропорционален , а квадрат скорости звука – .

Часто для описания скорости ударной волны вводят число Маха (Mach)

. (2.3.6)

Для ударных волн всегда выполняется неравенство . Используя (2.3.2) и (1.4.5), получим

. (2.3.7)

Для волн большой интенсивности найдем

. (2.3.8)

Для волн малой интенсивности получим

. (2.3.9)

Рассмотрим в подвижной системе координат отношение скоростей среды до и после скачка к местной скорости звука . Очевидно, до скачка . Покажем, что после скачка . Разделим почленно (2.2.6) на квадрат скорости звука , получим

.

Из уравнения ударной адиабаты найдем

.

Тогда

. (2.3.10)

Таким образом, в системе координат, связанной со скачком, скорость газа перед ударной волной сверхзвуковая, за волной – дозвуковая.

Выясним ответ на вопрос: догонит ли звуковая волна ударную? В подвижной системе координат, связанной со скачком, газ за ударной волной имеет скорость u.Звук бежит по газу со скоростью c. Далее

u<0, |u|<c.

Следовательно, u+c>0. Таким образом, звуковое и любое другое возмущение за конечное время догонит ударную волну.

Скорость ударной волны в жидкости. Соотношения на скачке имеют вид:

, .

Уравнение состояния жидкости

,

или

. (2.3.11)

Здесь учтено, что объем жидкости при сжатии меняется незначительно, так что . При больших перепадах давления () диаграмма сжатия становится нелинейной. В этом случае используют уравнение Тэта (Tait):

или . (2.3.12)

Константы, входящие в уравнение, определяются экспериментально. При уравнение Тэта переходит в акустическое уравнение состояния. Вследствие большой теплоемкости жидкости температуры до и после скачка практически равны и процесс распространения ударной волны является изотермическим , . Поэтому эти уравнения играют роль адиабаты и ударной адиабаты для жидкости. Проводя аналогию со случаем совершенного газа, видим, что похожая картина наблюдается при малых интенсивностях ударных волн в совершенном газе, когда адиабата и ударная адиабата совпадают вблизи точки начального состояния.

В истории такой подход уже был. Риман вместо уравнения энергии в системе соотношений на разрыве использовал уравнение адиабаты Пуассона, т.е. заменил адиабату Гюгонио адиабатой Пуассона.

Скорость ударной волны в жидкости совпадает со скоростью звука в ней, если использовать акустическое уравнение состояния. Используя уравнение Тэта и исключая или из (2.2.7), можно найти выражение для скорости (звука) ударной волны в зависимости от или соответственно.

Скорость ударной волны в пузырьковой жидкости. В термодинамически равновесном приближении уравнение состояния имеет вид (1.1.20):

, или .

Как и в случае с жидкостью, уравнение состояния играет роль ударной адиабаты. Используя (2.2.7) найдем

.

Откуда

. (2.3.13)

Число Маха в этом случае есть

. (2.3.14)

Рис. 1.8.

Геометрический смысл и виден из рис. 1.8 (, ).

Напомним, что уравнение (2.1.20) не учитывает сжимаемость жидкости и справедливо лишь для не очень сильных волн, когда , где – скорость звука в чистой (без пузырьков) жидкости.

Поиск по сайту: