Отражение ударной волны от жесткой стенки в совершенном газе

Рис. 1.10.

Пусть ударная волна отражается от жесткой стенки в совершенном газе. Будем снабжать индексами 0 – невозмущенные параметры газа, 1 – за фронтом набегающей волны, 2 – за фронтом отраженной волны (см. рис. 1.10). Требуется найти параметры за фронтом отраженной волны, считая известными параметры газа до и после фронта набегающей волны.

Пусть стенка неподвижна. Тогда граничное условие “прилипания” дает

, .

В неподвижной системе координат соотношения на разрыве имеют вид:

(3.3.1)

Представим выражение в виде

. (3.3.2)

Выразим из первого соотношения (3.3.1), предварительно заменив в нем выражение согласно (3.3.2). В результате получим

. (3.3.3)

Подставляя (3.3.3) во второе соотношение (3.3.1), найдем

, (3.3.4)

или

. (3.3.5)

Это соотношение можно применить как к падающей (1), так и к отраженной волне (2) с учётом граничного условия.

Падающая волна: ,

отраженная волна: . (3.3.6)

Приравнивая выражения (3.3.6) друг к другу, получим

. (3.3.7)

В выражении (3.3.7) справа вынесем за скобки , а слева – , тогда

. (3.3.8)

Запишем уравнения ударной адиабаты для падающей и отраженной волны:

,

. (3.3.9)

Подставим (3.3.9) в (3.3.8), после преобразований получим

(3.3.10)

Уравнение (3.3.10) относительно имеет два корня. Первый корень – . Очевидно, он не подходит. Для нахождения второго корня сделаем следующие преобразования:

тогда из (3.3.10) следует, что

или

откуда

.

Приводя в последнем выражении все члены, кроме , к общему знаменателю и поделив полученное выражение на , найдем второй корень

. (3.3.11)

Рассмотрим предельные случаи. Если ударная волна слабая , то давление за скачком можно искать в виде , где – малая величина, . Подставим в (3.3.11) и пренебрежем степенями выше первой:

(3.3.12)

Это означает, что отражение возмущения происходит так же, как в акустическом случае:

. (3.3.13)

В случае сильных волн () из (3.3.11) следует

.

Например, для воздуха , поэтому ударная волна при отражении от преграды усиливается не более, чем в 8 раз.

1.3.4. Отражение ударной волны от жесткой стенки в жидкости и пузырьковой жидкости

Отражение ударной волны от преграды в жидкости. Постановка этой задачи аналогична постановке задачи, описанной в предыдущем пункте. Выражение (3.3.7) остается справедливым. Запишем акустическое уравнение состояния жидкости

.

Применим его к падающей и отраженной ударным волнам:

(3.4.1)

Разделим второе уравнение из (3.4.1) на первое:

. (3.4.2)

С другой стороны из (3.3.7) следует

. (3.4.3)

Представим в виде

. (3.4.4)

Тогда из (3.4.3), используя (3.4.4), получим

. (3.4.5)

Учитывая (3.4.2), из (3.4.5) найдем

,

или

. (3.4.6)

Из (3.4.6) следует, что амплитуда отраженной ударной волны равна амплитуде падающей:

, (3.4.7)

. (3.4.8)

Отражение ударной волны от жесткой стенки в пузырьковой жидкости. Используем уравнение состояния пузырьковой жидкости (1.1.20)

. (3.4.9)

В безразмерной форме оно перепишется так:

. (3.4.10)

Применим его к падающей и отраженной ударным волнам:

,

. (3.4.11)

Используя связь , из (3.4.11) получим

,

. (3.4.12)

Разделим второе уравнение (3.4.12) на первое:

. (3.4.13)

С другой стороны из (3.4.7) следует

. (3.4.14)

Из (3.4.13) и (3.4.14) легко получить следующее соотношение для давления в отраженной волне

. (3.4.15)

Следовательно,

, или . (3.4.16)

Отсюда следует, что в силу физической нелинейности пузырьковой жидкости отраженная ударная волна усиливается при отражении гораздо значительнее, чем в чистой жидкости. Рассмотрим предельные случаи слабой и сильной ударной волны.

1). Слабая ударная волна:

Тогда

или

т. е. решение совпадает с акустическим.

2). Сильная ударная волна. Здесь следует иметь в виду ограниченность формулы (3.4.16), связанную с необходимостью учёта сжимаемости жидкости. Формулой (3.4.16) можно пользоваться, пока , где – скорость звука в жидкости.

Заметим, что решение для совершенного газа (3.3.11) при совпадает с решением для пузырьковой жидкости (3.4.16).

Для наглядности можно построить на одном и том же рисунке кривые, выражающие зависимости от для газа, жидкости и пузырьковой жидкости.

Поиск по сайту: