Уравнение состояния и скорость звука

РАВНОВЕСНАЯ ГАЗОЖИДКОСТНАЯ СИСТЕМА

В этой главе рассматриваются уравнение состояния газожидкостной системы в термодинамически равновесном приближении, соотношения на разрыве, задачи об ударных волнах и волнах разрежения, о волновом истечении в окружающее пространство.

Уравнение состояния и скорость звука

Получим уравнение состояния газожидкостной системы в термодинамически равновесном приближении в случаях, когда жидкость считается сжимаемой или несжимаемой, с учетом и без учета поверхностного натяжения на границе газ-жидкость.

1.1.1. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении

Рассмотрим жидкость с пузырьками газа. Пусть пузырьки имеют одинаковый радиус и равномерно распределены по объему.

Будем отмечать параметры, относящиеся к жидкости и газу, индексами 1 и 2 соответственно. Здесь и далее , , () – скорость, давление и температура i -ой фазы. По определению

, (1.1.1)

– истинные плотности жидкости и газа (, – масса i -ой фазы и объем, занимаемый ею),

, (1.1.2)

– приведенные плотности фаз ( – объем смеси). Так как масса смеси складывается из масс фаз , то средняя плотность смеси

, . (1.1.3)

Введем понятие объемной концентрации фазы в смеси

, . (1.1.4)

Тогда, учитывая (2.1.1) и (2.1.2), легко получить, что

, . (1.1.5)

Так как , то

. (1.1.6)

Для пузырьковой жидкости характерное объемное содержание пузырьков . При росте концентрации пузырьковая жидкость превращается в пену, а затем – в газокапельную среду (происходит инверсия структуры потока).

Можно ввести также массовую концентрацию фазы:

, , . (1.1.7)

Массовые и объемные концентрации связаны соотношениями:

, . (1.1.8)

Смесь в целом, кроме плотности , характеризуется следующими параметрами: среднемассовой скоростью , , температурой , и средним по объему давлением . При уменьшении размеров пузырьков начинают проявляться эффекты поверхностного натяжения, что приводит к дополнительному увеличению давления в пузырьке по сравнению с давлением в жидкости на величину лапласова (капиллярного) давления

, (1.1.9)

где – коэффициент поверхностного натяжения, – радиус пузырька. Однако в силу малости коэффициента поверхностного натяжения лапласово давление можно не учитывать, пока или . Так, например, для воды и при критический радиус .

В общем случае среднее давление в смеси находится по формуле

. (1.1.10)

Пузырьковая жидкость обладает следующими особенностями:

а) высокая плотность, приближающаяся к плотности жидкости ;

б) высокая сжимаемость: или ,

где – коэффициент сжимаемости, величина, обратная модулю объемной упругости

.

Так, например, в водовоздушной смеси при , , скорость звука .

в) малый акустический импеданс (волновое сопротивление), характеризующий “жесткость” среды, ,

;

г) сильная нелинейность диаграммы сжатия .

Получим баротропное уравнение состояния пузырьковой смеси , находящейся в термодинамическом равновесии. Последнее означает, что

, , . (1.1.11)

При рассмотрении волновых процессов жидкость, в силу большой теплоемкости, можно считать термостатом, т.е.

. (1.1.12)

Тогда из уравнения Клапейрона (Clapeyron) - Менделеева для газа в пузырьке

следует

. (1.1.13)

Здесь и – давление и плотность газа в начальном состоянии.

Сжимаемость газа значительно выше сжимаемости жидкости. Поэтому сжимаемость смеси определяется сжимаемостью газа в пузырьках, а сжимаемостью жидкости можно пренебречь, т.е. считать жидкость несжимаемой

. (1.1.14)

Будем считать, что фазовые переходы отсутствуют. Следовательно, как масса отдельного пузырька, так и массовые концентрации фаз постоянны:

, . (1.1.15)

Из (2.1.8) выразим объемные концентрации:

, . (1.1.16)

Учитывая (2.1.6), получим

. (1.1.17)

Подставим из (2.1.13) в (2.1.17) и учтем (2.1.15):

. (1.1.18)

Так как , , то

.

Отсюда находим уравнение состояния

. (1.1.19)

Рис. 1.1.

Выпишем еще несколько вариантов уравнения состояния пузырьковой жидкости, используя удельный объем смеси :

, , . (1.1.20)

Зависимость при имеет асимптотику (см. рис. 1.1).

Поиск по сайту: