Задача о поршне в совершенном газе

Рис. 1.9.

Рассмотрим задачи о поршне и отражении ударной волны от жесткой стенки. Пусть поршень движется со скоростью в совершенном газе (см. рис. 1.9). Начальное возмущение, возникшее вблизи поршня, когда он начал двигаться, в пределе превращается в ударную волну. Рассмотрим этот предельный случай. Определим параметры образовавшейся ударной волны.

Значения параметров перед скачком обозначим индексом 0 и будем считать, что газ покоится. В неподвижной системе координат соотношения на разрыве имеют вид (см. (2.1.3), (2.1.4)):

,

, (3.1.1)

Для совершенного газа энтальпия выражается через и :

.

На границе с поршнем выполняются условия непротекания (прилипания), т.е. газ движется со скоростью поршня

. (3.1.2)

Если скорость поршня известна, то выписанная система уравнений замкнута, и все параметры можно выразить через .

Систему (3.1.1) удобнее решать в безразмерном виде:

(3.1.3)

Обезразмерим систему и выразим из первого уравнения (3.1.1) безразмерную скорость волны

. (3.1.4)

Из второго уравнения, используя (3.1.4), выразим :

. (3.1.5)

Подставим (3.1.4) и (3.1.5) в третье уравнение (3.1.1), в котором учтена связь энтальпии с давлением и плотностью. После алгебраических преобразований получается квадратное уравнение для безразмерного удельного объема , в которое скорость поршня входит как параметр. Выбор корня уравнения осуществляется в соответствии с условием . Тогда для () получается следующее решение:

. (3.1.6)

Рассмотрим асимптотическое поведение решения. Для больших, по сравнению со скоростью звука, значений () получим

Итак,

. (3.1.7)

При получении выражения (3.1.7) пренебрегли членами, содержащими . Для скорости волны с учетом (3.1.7) получим

, (3.1.8)

а для давления –

. (3.1.9)

В случае малых скоростей поршня , корень в решении (3.1.6) разложим в ряд Тейлора, сохраняя члены первого порядка:

, .

Тогда, пренебрегая в полученном после этих преобразований выражении членами, содержащими , найдем асимптотику

. (3.1.10)

Для скорости волны имеем

Разлагая в ряд корень, получим

. (3.1.11)

Давление находится по формуле

. (3.1.12)

Поиск по сайту: