Задача о выдвигающемся поршне в газе

Рис. 1.12.

Рассмотрим следующую задачу. В трубе, не ограниченной справа, находится покоящийся газ (см. рис. 1.12). Слева – поршень. В начальный момент времени поршень начинает выдвигаться из трубы с постоянной скоростью .

Требуется описать возникающее течение газа. Очевидно, что при выбранном направлении движения поршня газ потечёт влево (), а возмущение (волна разрежения) побежит по газу вправо.

Скорость газа в волне разрежения ограничена неравенством (5.1.8):

.

Рассмотрим два случая

а). Скорость поршня не превышает максимальную скорость газа в волне разрежения

. (4.2.1)

Тогда скорость газа вблизи поршня определяется условием “прилипания”:

. (4.2.2)

Поэтому соотношения (4.1.19) в этом случае примут вид:

. (4.2.3)

Рис. 1.13

При скорость газа остается постоянной и равной скорости поршня . Полученное автомодельное решение изображено на рис. 1.13.

Проанализируем полученное решение. Точка (см. рис. 1.13) носит название “головы волны разрежения” (ГВР) и движется по невозмущенному газу вправо со скоростью звука . Точка – “хвост волны разрежения” (ХВР). ХВР может двигаться как вправо, если (или ), так и влево, если .

Найдем скорость ХВР относительно газа. Скорость газа . Скорость ХВР .

Их разность как раз и будет искомой скоростью

. (4.2.4)

Последнее равенство в (4.2.4) написано на основании решения (4.1.13).

Таким образом, ХВР движется относительно газа вправо с местной скоростью звука.

б). Скорость поршня больше максимальной скорости газа в волне разрежения:

. (4.2.5)

В этом случае справедливы соотношения (4.1.19). Точка (ГВР) имеет координату (рис. 1.14), но (ХВР) имеет координату . Координата поршня . Поршень отрывается от газа, и между поршнем и ХВР газ отсутствует (вакуум). Скорость ХВР относительно газа равна нулю.

Рис. 1.14.

Поиск по сайту: