Замкнутая система уравнений для истечения вскипающей жидкости

Рассмотрим решение поставленной в предыдущем параграфе задачи в термодинамическом равновесном приближении. Предположим, что давление, скорость и температура жидкости (индекс 1) и пара (индекс 2) совпадают:

, , . (7.5.1)

Энтальпии жидкости и пара в состоянии насыщения являются функциями давления

,

и связаны между собой соотношением

. (7.5.2)

Здесь – теплота парообразования. Плотность жидкости на линии насыщения также является функцией давления . Значения параметров жидкости на линии насыщения , , , могут быть найдены в соответствующих таблицах. При расчете осуществляется сплайн-интерполяция этих данных. Однако не все из этих данных нужны, так как существуют термодинамические связи. Одна из них – (7.5.2), а другая – уравнение Клапейрона-Клаузиуса (Clausius):

, . (7.5.3)

Так как в (7.5.3) присутствует производная от по давлению, то должна быть дифференцируемой функцией.

Выпишем законы сохранения рассматриваемой системы:

(7.5.4)

Последнее уравнение выражает закон сохранения энтропии системы s, так как теплообмен в системе отсутствует. Перейдем от энтропии к более удобной в нашем случае энтальпии: последнее уравнение эквивалентно выражению . Так как , и , то получим для дифференциала энтальпии выражение

. (7.5.5)

Поэтому окончательно уравнение сохранения энергии примет вид

. (7.5.6)

Плотность смеси определяется так же, как и в случае пузырьковой жидкости:

.

Легко убедиться, что

, . (7.5.7)

Здесь , – массовые концентрации жидкости и пара.

Можно ввести энтальпию смеси, аддитивную по массе

. (7.5.8)

Учитывая (7.5.2) и для дифференциала энтальпии, получим

. (7.5.9)

Покажем, что энтальпия – функция только давления. Подставим в (7.5.5):

,

или

. (7.5.10)

Так как энтальпии фаз на линии насыщения, теплота парообразования и плотности фаз зависят только от давления, то и .

Учитывая связь (7.5.8), можно сделать вывод, что энтальпия – функция давления. Кроме того, из (7.5.7) следует, что процесс истечения является баротропным, т.е. плотность – функция только давления . Добавляя эту зависимость к системе уравнений, мы замкнем систему уравнений.

С точки зрения вычислений, удобнее аппроксимировать скорость звука, чем плотность

. (7.5.11)

Тогда дифференциальное уравнение для энтальпии (или энтропии) можно заменить на следующее:

, (7.5.12)

где известна зависимость .

Построим эту зависимость. Для дифференциала удельного объема имеем

,

или

. (7.5.13)

Перейдем в определении равновесной скорости звука (7.5.11) к удельному объему :

. (7.5.14)

Подставим в (7.5.13) из (7.5.10), а затем полученное выражение подставим в (7.5.14) и получим

, (7.5.15)

где введены обозначения:

, ,

. (7.5.16)

В выражения для A и B входят и , которые можно найти из (7.5.7):

, . (7.5.17)

Окончательно получается следующая система уравнений, описывающая процесс истечения вскипающей жидкости из трубы:

(7.5.18)

Кроме того, необходимы четыре функции: , , и . Значения функций и вычисляются по формулам (7.5.2) и (7.5.3) соответственно. Эту систему решают численно.

Рассмотрим выражение для равновесной скорости звука со стороны двухфазной области :

. (7.5.19)

Заметим, что, несмотря на отсутствие пара , в выражение для скорости звука входят характеризующие его параметры (, ).

Если в исходном состоянии жидкость является недогретой, т.е. или , то скорость звука в ней есть скорость звука в чистой жидкости . Тогда последнее уравнение в (7.5.18) можно переписать в виде

. (7.5.20)

Поиск по сайту: