Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов:

1)

2)

3)

Тогда . В первом интеграле числитель является производной знаменателя, поэтому .

При разложении простейших дробей возможны ситуации:

1) если числитель является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму натуральному от знаменателя:

2) квадратный трехчлен в знаменателе можно разложить на линейные множители, а подынтегральную функцию на простые рациональные дроби:

Коэффициенты А и В находят методом неопределенных коэффициентов.

3) квадратный трехчлен в знаменателе нельзя разложить на линейные множители, тогда следует выделить полный квадрат и ввести замену:

После чего вводят новую переменную:

Эти интегралы можно вычислить: первый – подведением под знак дифференциала, второй – непосредственным интегрированием.

Задача 13. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Так как , то используем метод замены переменной. Задача 14. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Так как , то используем метод замены переменной. Задача 15. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Так как , то используем метод замены переменной.

Задача 16. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Так как , то разложим рациональную дробь на сумму простейших дробей и применим метод неопределенных коэффициентов:

Из последнего равенства найдем постоянные коэффициенты А₁, А₂, А₃. Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, приходим к равенству:

Теперь избавляемся от знаменателей, т.к. они одинаковы:

.

В левой части раскрываем скобки:

.

Сгруппируем по степеням x, вынесем общий множитель за скобки:

Составляем систему линейных уравнений из коэффициентов левой и правой части при соответствующих степенях x.

Решаем систему уравнений и получаем ответ:

Тогда .

Поиск по сайту: