Релятивистский закон преобразования скоростей

Классический закон сложения скоростей и второй постулат СТО.

В классической механике закон преобразования скорости частицы (менее точно — закон сложения скоростей) имеет вид:

v = v' + V. (1)

Здесь v' и v — скорости данной частицы соответственно в инерциальных системах отсчета K' к K, V — относительная скорость этих систем отсчета.

Выражение (1) справедливо, если векторы v, v' и V имеют одинаковые направления (например, вдоль оси абсцисс).

Постулат специальной теории относительности об абсолют­ной скорости требует, чтобы при v' = с было v = c (так как с — абсолютная для всех инерциальных систем отсчета величина). Но из соотношения (1) следует: если v' = с. то v = c + V c (при любом конечном значении V).

Так как классический закон преобразования скорости проти­воречит второму постулату специальной теории относительности, то возникает задача нахождения нового закона преобразования скорости — релятивистского (от англ. relativity — относитель­ность), т.е. согласующегося со специальной теорией относитель­ности. До решения этой задачи выясним все требования к искомо­му закону.

Два класса частиц.

Определим, каким может быть значение величины V — относительной скорости инерциальных систем от­счета. В реальном физическом мире наблюдаются различные скорости физических тел, с которыми можно связать инерциальные системы отсчета, причем в эксперименте не наблюдается дви­жение тел со сверхсветовыми скоростями. Итак,

V<c. (2)

Теперь заладимся вопросом о теоретически возможных зна­чениях величин v' и v' — скоростей частицы соответственно в инерциальных системах отсчета К' и К. В качестве гипотезы можно предположить, что для скорости частицы в какой-либо инерциальной системе отсчета, допустим в K, возможны три соотношения:

v>c; v = c; v<c.

Однако эксперименты и наблюдения подтверждают только соотношение v<c (движения атомов, молекул, тел со скоростя­ми, меньшими световой) и равенство v = с (распространение электромагнитной волны, в частности света, в вакууме с абсо­лютной скоростью с). Частицы, которые двигались бы со сверхсветовой скоростью (т.е. случай v>c) современными экспе­риментами не обнаружены.

Покажем, что класс частиц, т.е. их свойство иметь скорость в области значений v<c или v = с. является релятивистским инвариантом, т. е. не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Другими словами: либо скорость частицы меньше абсолютной скорости во всех инерциальных системах отсчета, либо каждой из них равна ей.

По второму постулату специальной теории относительности при v' = с в системе отсчета К' будет v = c: н любой инерциальной системе отсчета К. Значит, если v'<с. то ни в какой иной системе отсчета К скорость частицы не станет равной абсолютной скорости с. А найдется ли система отсчета, где окажется v>c?

Для ответа на поставленный вопрос представим себе мысленно следующий опыт. Пусть в системе отсчета К' движутся две частицы в одном направлении: медленная частица, имеющая скорость v'<с, и быстрая частица с абсолютной скоростью с.

Вторая частица догоняет первую и происходит событие — соударение частиц. Если допустить, что в системе отсчета К у первой частицы скорость v может оказаться больше скорости с, то соударение частиц произойти не может. А это означает, что событие зависит от выбора системы отсчета: оно происходило бы в одной инерциальной системе отсчета и не происходило бы в другой. Но это утверждение не согласуется с принципом от­носительности. Следовательно, не может быть v>c, если v'<с. Итак, класс частицы абсолютен:

либо v<c при v'<с, (3)

либо v = c при v' = c. (4)

Соотношения (3) и (4), полученные как следствия постулатов специальной теории относительности, есть тe требования, которым должен удовлетворять искомый релятивистский закон преобразования скорости частицы.

Релятивистский закон преобразования скорости.

В левой части этого неравенства стоит величина с размер­ностью скорости, обладающая следующими свойствами: при v'<с ее значение согласно неравенству (5) также меньше с: при v' = с получим знак равенства. Наконец, при v'<<c и V<<c рас­сматриваемая величина превращается в классическое выражение v' + V, имеющее в соответствии с законом (1) смысл скорости v частицы в инерциальной системе отсчета К.

Заметим, что формула (6) применима только в том случае, если все три вектора — v, v' и V— направлены по одной пря­мой. В общем случае этот закон имеет более сложный вид. Однако при любой форме записи закона (6) его сущность заключается в выражении идеи предельности постоянной с: при любых относительных скоростях инерциальных систем отсчета V<c нельзя путем перехода от одной из них к другой изменить скорость частицы так, чтобы изменилась ее принадлежность к соот­ветствующему классу частиц.

Данное теоретическое положение специальной теории относи­тельности подтверждается опытами. В реальном физическом мире к частицам первого класса, движущимся с абсолютной скоростью, относятся безмассовые частицы — фотоны и нейтрино; к частицам второго класса, скорость которых всегда меньше абсолютной, — элементарные массовые частицы (электро­ны, протоны, нейтроны и др.), атомы, молекулы, макроскопи­ческие тела.

Поиск по сайту: