Вынужденные механические колебания

Колебательная система, выведенная из положения равновесия, самопроизвольно начинает колебаться с некоторой частотой, которая называется собственной. Если к такой системе приложить периодическую внешнюю силу, которая также изменяется с некоторой, в общем случае другой, частотой, то тогда система будет колебаться с частотой внешней силы, даже если эта частота не совпадает с частотой собственных колебаний пружины .

Когда мы раскачиваем качели, то имеем дело с их вынужденными колебаниями. При вынужденных колебаниях амплитуда колебаний, а следовательно, и энергия, передаваемая колебательной системе, зависят от того, насколько различаются частоты и , а также от величины сил сопротивления среды.

Рассмотрим пружинный маятник. На него действует сила упругости пружины F_упр = –kx, сила сопротивления среды F_сопр = –b v, которая обычно пропорциональна скорости движения и направлена в противоположную сторону. Наконец, на маятник действует внешняя, или вынуждающая, сила. Пусть внешняя сила синусоидальна и представляется в виде , где – циклическая частота изменения внешней силы. Тогда уравнение движения (2-ой закон Ньютона) с учетом сил сопротивления среды можно записать в виде:

. (1)

Поскольку скорость является первой производной смещения, а ускорение – второй, то это уравнение является дифференциальным. Методы решения таких уравнений вам пока не известны, но из физических соображений можно догадаться, что тело будет колебаться, причем с частотой изменения вынуждающей силы. Таким образом, из физических соображений вынужденные колебания должны иметь вид:

, (2)

где знак «-» перед начальной фазой колебания Ф говорит о том, что колебания запаздывают по сравнению с вынуждающей силой, так как отклик на воздействие всегда запаздывает по сравнению с самим воздействием.

Продифференцировав (2), можно вычислить скорость и ускорение частицы:

Если подставить эти выражения в уравнение движения (1), то можно найти амплитуду и начальную фазу колебания.

(3)

. (4)

Величина называется коэффициентом затухания, она определяется силой сопротивления среды и пропорциональна ее.

Это решение уравнения движения (1) не описывает процесса установления вынужденных колебаний, оно описывает только установившиеся через некоторое время колебания. Амплитуда установившихся колебаний не зависит от начальных условий, например, от начального отклонения и от начальной скорости. Процесс установления колебаний зависит от начальных условий. Если начальная амплитуда слишком мала, то она постепенно увеличивается, если слишком велика, то уменьшается до величины, даваемой формулой (3).

Амплитуда вынужденных гармонических колебаний А сильно зависит от разницы между частотой вынуждающей силы и собственной частотой колебания системы. На рис. 1 показаны зависимости амплитуды А от частоты вынуждающей силы для трех значений постоянной затухания . Кривая 1 соответствует слабому затуханию, кривая 2 – более сильному, а кривая 3 – очень большой силе сопротивления среды, при которой в отсутствие внешней вынуждающей силы колебаний вообще не возникает.

Рис. 1

Когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний системы, амплитуда резко возрастает, если только затухание не слишком велико. При малом затухании рост амплитуды при оказывается очень сильным. Это явление называется резонансом. Собственная частота колебаний системы называется резонансной частотой. Если положить формально , то резонанс будет наблюдаться на частоте , а резонансный пик (амплитуда А) уходит в бесконечность, при этом энергия постоянно вводится в систему и не рассеивается.

В реальных системах никогда не обращается в нуль, поэтому резонансный пик имеет конечную величину; вершина пика не приходится точно на , хотя смещение частоты обычно невелико. Если же затухание велико, то пик выражен слабо или вовсе отсутствует (кривая 3 рис. 1).

Высота и ширина резонансного пика часто характеризуются параметром Q, который называется добротностью и определяется следующим образом . Чем меньше коэффициент затухания , тем больше добротность Q и тем выше резонансный пик. Значение Q характеризует также ширину резонансного пика: чем добротность выше, тем ширина уже.

Поиск по сайту: