Интерполяция табличных данных

Инженеру часто приходится работать с таблицами, в которых приводятся значения некоторой функции f (x) в зависимости от фиксированных значений одного или двух параметров. Табличное представление функции может быть связано с тем, что данные получены экспериментально и лишь для некоторых дискретных значений аргумента, либо с тем, что объем таблиц ограничен и в них можно привести лишь некоторые данные. Хотя частота узлов таблицы может быть достаточно малой, тем не менее в практических расчетах требуется использовать значения функции, для которых аргумент находится между узлами. Операция определения промежуточного значения функции внутри интервала по ее значениям на границах интервала называется интерполяцией.

При интерполяции табличные значения функции f (x) аппроксимируются приближенной функцией j(х,а), которая совпадает с f (x) по крайней мере в двух ближайших узлах таблицы и легко вычисляется. В дальнейшем при всех значениях аргумента искомое значение функции f (x) определяют вычислением значений j(х, а). Близость функций f (х) и j(х,а) обеспечивают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров а (а₁,а₂,…а_n) и соответствующим их выбором.

Если потребовать, чтобы функция j(х,а) совпадала в n выбранных узлах таблицы с f (x), то получим систему уравнений

, 1 £ i £ n,

из которой можно определить параметры a_i. Если j(х,а) линейно зависит от параметров a_i, то такая интерполяция называется линейной.

На практике чаще всего для интерполяции используются следующие функции:

Ø последовательность степеней x:

, то есть интерполяционный многочлен ;

Ø последовательность тригонометрических функций: ;

Ø последовательность показательных функций:

.

Увеличение количества узлов таблицы, по которым проводится интерполяция, формально увеличивает близость функций f (х) и j(х,а) на всем пространстве изменения аргумента. Задавая порядок интерполирования равный количеству всех узлов таблицы, получим полное совпадение значений функций f (х) и j(х,а) во всех узлах. Однако при этом вследствие погрешности эксперимента или погрешности округлений табличных значений функции в пространстве между узлами могут появиться выбеги значений функции j (х,а), существенно отличающиеся от значений в близлежащих узлах.

К интерполированию приходится прибегать и в том случае, когда для функции f (x) известно ее аналитическое представление или существует способ вычисления значения функции для любого значения х из отрезка [ a,b ], но вычисления каждого значения сопряжено со значительными затруднениями. В таких условиях вычисляют несколько значений f (x_i) и по ним строят интерполирующую функцию j(х,а), а затем с помощью ее вычисляют приближенные значения f (x) в остальных точках.

Поиск по сайту: