Пример 9.1

Частотным методом рассчитать токи в цепи (рис. 33) при подключении данной электрической схемы к источнику экспоненциальной эдс . Параметры цепи: r = 10 Ом, L = 0,1 Гн,
С = 100 мкФ.

Решение

3. Определим частотные спектры токов и напряжений.

3.1. По таблицам функций и их частотных характеристик (прил. 3) запишем частотный спектр эдс, В, .

3.2. Для комплексной схемы замещения, используя любой известный метод, составим уравнения для нахождения частотных спектров токов.

В данном случае воспользуемся методом узловых потенциалов. Так как схема имеет два узла, то уравнение надо составить лишь одно. Для этого сначала найдем комплексные проводимости ветвей , и , См, для любой частоты:

;

;

.

Принимая В, запишем узловое уравнение в комплексной форме для узла b:

.

Из последнего уравнения выразим

.

Зная частотный спектр потенциала узла b,по закону Ома определим частотные характеристики токов I _r(j w) и I _C(j w), а I (j w) определим из первого закона Кирхгофа в спектральной форме

4. Определение оригиналов токов.

Оригиналы токов найдем по теореме разложения, которую использовали при расчете операторным методом, произведя замену p на j w.

4.1. Вначале найдем оригинал изображения тока, протекающего во второй ветви. Видно, что изображение тока, протекающего через резистор, имеет вид рациональной дроби , причем степень числителя меньше степени знаменателя и коэффициенты при j w и в числителе, и в знаменателе – вещественные числа, поэтому можно воспользоваться теоремой разложения в следующей ее записи: .

Для частотного спектра тока I _r(j w) –

и .

Далее для нахождения оригинала выполним следующие действия.

Приравняем M (j w) к нулю и найдем корни получившегося уравнения

.

Следовательно, (22)

или . (23)

Решая (22) и (23), получим (j w)₁ = –2 рад/с,

,

(j w)₂ = –856,2 рад/с и (j w)₃ = –9344 рад/с.

Найдем производную от M (j w)по (j w)

.

После раскрытия скобок и приведения подобных получим:

.

Далее определим:

;

;

;

.

Подставим полученные в п. 3 значения в приведенную формулу разложения, получим закон изменения тока, А, через резистор

.

4.2. Найдем закон изменения тока, протекающего через конденсатор. Для его нахождения по частотному спектру воспользуемся той же самой теоремой разложения. Знаменатели частотных спектров токов I _r(j w) и I _C(j w) одинаковы, поэтому не надо находить величины (j w)_k и , они найдены выше.

Определим

;

;

;

.

Подставим полученные значения в формулу разложения, получим закон изменения тока, А, через конденсатор

.

4.3. Ток, А, протекающий через катушку индуктивности, найдем по закону Кирхгофа для узла b