Модели AR и VAR

Авторегрессионная (AR-) модель (англ. Autoregressive model) — модель временных рядов, в которой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого же ряда. Авторегрессионный процесс порядка p (AR(p)-процесс)- определяется следующим образом

Xt = c +∑ i =1 paiXt − i + εt,

где a 1,…, ap — параметры модели (коэффициенты авторегрессии), c -постоянная (часто для упрощения предполагается равной нулю), а εt — белый шум.

Модель AR(p) (авторегрессия): линейная комбинация лаговых переменных

X(t) = b₀ + b₁*X(t-1) + …. + b_p*X(t-p)

Особенно популярны их комбинации

ARMA(p,q) = AR(p) + MA(q)

и ARIMA(p, i,q): то же, с интегрируемостью i –го порядка.

Особый интерес представляет модель векторная авторегрессия VAR, состоящая из многих уравнений, в которой левые (эндогенные) переменные зависят и от своих, и от чужих лаговых значений.

Векторная авторегрессия (VAR, Vector AutoRegression)- модель динамики нескольких временных рядов, в которой текущие значения этих рядов зависят от прошлых значений этих же временных рядов. Модель предложена Кристофером Симзом как альтернатива системам одновременных уравнений, которые предполагают существенные теоретические ограничения. VAR-модели свободны от ограничений структурных моделей. Тем не менее, проблема VAR-моделей заключается в резком росте количества параметров с увеличением количества анализируемых временных рядов и количества лагов.

Используя этот метод, профессор Кристофер Симз получил в 2012 году Нобелевскую премию за изучение влияния на экономику эффектов от единовременных потрясений и действий регуляторов, в частности, изменения процентных ставок центробанков. Согласно его модели, негативные эффекты от повышения ставок (снижение экономической активности) проявляются почти сразу же, тогда как положительных результатов, например сокращения инфляции, приходится ждать порой несколько лет. Вместе с ним Нобелевскую премию получил Томас Сарджент, который наблюдал за реакцией банков, компаний и индивидов при повышении и понижении инфляции. Базируясь на этих исследованиях, Томас Сарджент сформулировал теорию, согласно которой на действия людей влияют не шаги правительства как таковые, а их ожидание. В результате эффект от той или иной стратегии может оказаться не совсем таким, какого ожидали власти. На этих же принципах основана рефлексивная модель Джорджа Сороса: поведение людей, в том числе биржевых игроков, зависит от подаваемой им информации. Управляя потоками информации, можно управлять и “толпой” биржевых игроков, а значит и ценами на бирже.

33. Идентифицируемость системы.

Интерес представляют коэффициенты не приведённой модели, а структурной, которая имеет экономический смысл. Поэтому после настройки по статистическим данным приведённой модели и оценки её коэффициентов требуется вычислить по ним структурные коэффициенты. Но это не всегда получается: возникает проблема идентификации – единственности соответствия между приведённой и структурной формами модели. Структурные модели можно подразделить на три вида:

- идентифицируемые;

- неидентифицируемые;

- сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведённой формы модели, то есть число параметров структурной модели равно числу параметров приведённой формы модели.

Модель неидентифицируема, если число приведённых коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведённой формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведённых коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведённой формы можно получить несколько значений каждого структурного коэффициента, число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведённой формы. Модель может быть практически решена при применении специальных методов.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию.

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Чтобы уравнение было идентифицируемо, нужно, чтобы число предопределённых переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного. Условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего правила:

Предопределённых + 1 = Эндогенных идентифицируемо

Предопределённых + 1 < Эндогенных неидентифицируемо

Предопределённых + 1 > Эндогенных сверхидентифицируемо

D + 1 = H идентифицируемо

D + 1 < H неидентифицируемо

D + 1 > H сверхидентифицируемо

В исследуемой модели d, p, s эндогенные; x, p(t-1) предопределённые, во всей системе их 2. Исследуем модель:

Предопр. D D+1Н

d = a0 + a1· p + a2· x 1 1 2 2 идент.

s = b0 + b1 · p(t-1) 1 1 2 1 сверх.

d = s 0 2 2 2 идент.

Значит, модель сверхидентифицируема.

Идентифицируемую систему эконометрических уравнений можно решить Косвенным методом наименьших квадратов (КМНК). Суть метода в следующем:

- Преобразование структурной формы модели в приведённую;

- Оценка коэффициентов уравнений приведённой формы обычным методом наименьших квадратов;

- Преобразовать их в коэффициенты структурной модели. Если при вычислении коэффициентов структурной формы (9.1) учитывать возмущения, то они войдут в оба уравнения модели, и принцип независимости эндогенных переменных и остатков будет нарушен. Это приведёт к смещению (отсутствию состоятельности) параметров модели. Для подавления этого эффекта, а также для настройки сверхидентифицируемых моделей используется двухшаговый метод наименьших квадратовДМНК.

Основная идея ДМНК – на основе приведённой формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения оценённые значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их в правые части уравнений вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название “двухшаговый метод наименьших квадратов”, ибо МНК используется дважды: на первом шаге при определении коэффициентов приведённой формы модели и нахождении на её основе оценок оценённых значений эндогенных переменных Ŷ и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели с использованием оценённых значений эндогенных переменных. Оценённые значения играют роль так называемых инструментальных переменных (instrumental variables, IV, instruments) – переменных, которые применяются, если обычные переменные коррелируют с возмущениями. Инструментальные переменные коррелируют с обычными переменными, но не коррелируют с возмущениями, что приводит к состоятельности (consistency) модели. Расчёты с использованием инструментальных переменных включены в статистические пакеты, так что не удивляйтесь, увидев IV на распечатке.

Алгоритмы и краткие замечания по КМНК и ДМНК:

Косвенный МНК:

1) Структурная => Приведенная

2) Коэффициенты по МНК

3) Преобразовать их в коэффициенты структурной модели

Нарушение предпосылки независимости факторов приводит к несостоятельности оценок структурных коэффициентов, они могут оказаться бессмысленными

Поиск по сайту: