Тема: «Уравнения четвертой степени»

Тип урока: лекция

Продолжительность урока: 45 минут

Цель: Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней;

Развитие познавательных и исследовательских умений;

Воспитание культуры общения, воспитание умения работать самостоятельно.

План урока:

Ход урока:

1. Организационный момент

Вступительное слово учителя.

Приветствие учеников, сообщаю цель, задачи занятия, план работы на занятии.

2. Объяснение нового материала

Перед нами стоит задача: рассмотреть методы решения уравнений 4-й степени.

Рассмотрим уравнения:

Как вы думаете, какой степени будет каждое из уравнений?

(В первых трех уравнениях степень 3,2,25, а четвертое уравнение считают уравнением 6-й степени, замечаем, что последнее уравнение отличается от предыдущих тем, что у тех справа 0). Поэтому нужно привести это уравнение к виду Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида.

уравнение пятой степени.

Таким образом, под степенью уравнения Р(х) = 0 мы будем понимать степень многочлена стандартного вида Р(х), т.е. наибольший показатель степени входящей в него переменной.

Определения: (ученики записывают их в тетрадь)

Уравнение четвертой степени

Уравнения вида , где , называются биквадратными. Решение: вводим замену , и решаем квадратное уравнение.

Уравнения вида называются возвратными, т.е. его коэффициенты, одинаково удалённые от начала и конца равны между собой.

Решение: х=0 не является корнем, можно разделить на х² обе части уравнения, получим

Замена

Уравнения вида ax⁴ + bx³ + cx² - bx + a = 0 решается подстановкой y =

Может показаться, что решать уравнения 4-й степени гораздо труднее, чем 3й. Оказывается, это не так, и решать такие уравнения ничуть не труднее (а порой и легче), чем уравнения 3-й степени. Впервые метод решения уравнений 4й степени был получен Феррари- учеником Кардано.

Метод Феррари позволяет свести решение к кубическому уравнению.

Пусть уравнение 4-й степени имеет вид , можно избавиться от подстановкой . Получим . p,q,r - некоторые коэффициенты, зависящие a,b,c,d. Это уравнение можно записать в таком виде:

(1)

Достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению .

Выберем параметр t так, чтобы правая часть уравнения (1) была полным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y), стоящего справа:

Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой-либо его корень и внесем его в уравнение (1), теперь уравнение примет вид

Отсюда .

Получили квадратное уравнение, решая его, можно найти корень исходного уравнения.

Алгоритм решения :

1.

2. .

3. Добавляем к обеим частям

4. Вычисляем дискриминант

5. Решаем кубическое уравнение

6. Решаем квадратное уравнение

3. Закрепление нового материала

Пример.

1. х=у-1

2.

3.

4. 4-()()=0

s³+5s²-8s-42=0 Подбором находим, что целым корнем кубической резольвенты является число s=-3

5.

Возвращаясь к замене х=у-1, получаем корни уравнения

Пример. х⁴+8х³-68х+11=0

Выделим первых два слагаемых.

х⁴+8х³+16х²=16х²+68х-11

(х²+4х)²=16х²+68х-11

Введем новый параметр у

(х²+4х)²-2(х²+4х)у+у²=16х²+68х-11-2(х²+4х)у+у²

(х²+4х-у)²=х²(16-2у)+х(68-8у)+ у²-11

ax²+bx+c=a(x-x₀)² D=0

D/4=(34-y)²-(16-2y)(y²-11)=2y³-294+1332

y³-147+666=0

y=6 удовлетворяет уравнению

(х²+4х-6)²=(2х+5)²

х²+2х-11=0 х²+6х-1=0

х_1,2=-1±2√3 х_3,4=-3±√10

4. Работа по вариантам

3х⁴+7х³+7х+3=0 Ответ:

х⁴+10х³+26х²+10х+1=0 Ответ: -3±2√2; -2±√3

5. Домашнее задание

х⁴+2х³-2х²+6х-15=0 решить по аналогии с примером 1 и 2.

2х⁴+5х²-3=0

6. Подведение итогов

Поиск по сайту: