Тема: «Границы корней многочлена.»

Тип урока: лекция

Продолжительность урока: 45 минут

Цель: Формирование знаний о методах нахождения границы действительных корней многочлена;

Задачи: Отработать умения и навыки их применения; отработка навыков и умений в вычислении производной;

Развитие познавательных и исследовательских умений;

Воспитание культуры общения, воспитание умения работать самостоятельно.

План урока:

Ход урока:

1. Организационный момент

Вступительное слово учителя.

Приветствие учеников, сообщаю цель, задачи занятия, план работы на занятии.

2. Объяснение нового материала

В курсе алгебры выводится формула для решения квадратного уравнения, а из курса физики видно, насколько необходима эта формула для решения многих физических вопросов (например, в задачах, связанных с равноускоренным движением и т.д.). Не меньшую роль, чем квадратные уравнения, играют в математике и ее приложениях уравнения третьей и более высоких степеней. На практике в технике имеют дело с многочленами высоких степеней, в таких случаях достаточно знать приближенные значения корней. При решении различных задач математики, физики часто приходится делать те или иные заключения о расположении корней многочлена с числовыми коэффициентами, не зная его корней. При этом рассматривают методы нахождения границы действительных корней многочлена.

Метод отыскания границ

Существуют различные методы отыскания границ. Рассмотрим Метод Ньютона. Здесь достаточно уметь находить лишь верхнюю границу положительных корней любого многочлена. Т.е. необходимо найти интервал, в котором будут находиться корни уравнения (многочлена).

Дан многочлен , причем старший член положителен, и А его верхняя граница положительных корней. Рассматриваем вспомогательные многочлены:

служит для определения нижней границы положительных корней, т.е. «начало» интервала;

-нижней границы отрицательных корней, т.е. «начало»;

- верхней границы отрицательных корней, т.е. «конец».

Суть метода: находим последовательные производные , вычисляем в какой точке они принимают положительные значения, это число служит верхней границей положительных корней.

Пример 1. найти границы положительных и отрицательных корней.

Степень многочлена нечетная, то обладает хотя бы одним действительным корнем; если число действительных корней больше единицы, то оно равно трем или пяти, так как комплексные корни попарно сопряжены.

Легко проверить, что все многочлены положительны при х=2. Т.е. число 2 является верхней границей положительных корней многочлена .

Найдем нижнюю границу отрицательных корней для нашего многочлена. , чтоб старший коэффициент был положительным.

Эти многочлены положительны, при х=4, число 4 служит верхней границей положительных корней для , поэтому число -4 будет нижней границей отрицательных корней для

Многочлены

Аналогично в качестве верхних границ положительных корней соответственно числа 1 и 4, а поэтому нижней границей положительных корней многочлена служит число =1, верхней границей отрицательных корней число - . Т.е. положительные корни расположены между числами 1 и 2, отрицательные корни- между -4 и - .

Важно найти сам интервал, где расположены корни. Будем обращать внимание на нижнюю границу отрицательных корней и верхнюю границу положительных корней.

Пример 2. х³+8х²+5х-14=0 найти границы действительных корней корней.

Число 2 является верхней границей положительных корней. (Ученики выполняют данное действие самостоятельно.)

Найдем нижнюю границу отрицательных корней для нашего многочлена. , чтоб старший коэффициент был положительным.

Эти многочлены положительны, при х=8, число 8 служит верхней границей положительных корней для , поэтому число -8 будет нижней границей отрицательных корней для

3. Закрепление нового материала

Пример 3. Найти границы действительных корней многочлена

2х⁶+10х⁴-160х²+х-12=0

Проверяем при каком х все многочлены положительны, подставляем значения х в . Число 3 является верхней границей действительных корней.

Найдем нижнюю границу корней для нашего многочлена.

Число 3 является верхней границей действительных корней для , следовательно -3 является нижней границей для .

Интервал для действительных корней будет (-3,3).

4. Самостоятельная работа

Найти границы действительных корней многочлена

а) 3х²-12х-135=0 (-6,10)

б) х³-6х²-х+30=0 (-3, 6)

После вычисления границы, найти корни данных уравнений.

а) -5 и 9 б) -2, 3 и 5

5. Домашнее задание

Найти границы положительных и отрицательных корней

х⁴-2х³-41х²+42х+360=0

х⁶+х⁴-х³-4х²+60=0

4х⁵-х²+20х-2=0

6. Итог урока

Поиск по сайту: