Уравнения выше четвертой степени

После нахождения решения в радикалах уравнений третьей и четвертой степеней, почти три века продолжались безуспешные попытки сделать следующий шаг, т.е. найти формулы, выражающие при помощи радикалов корни любого уравнения пятой степени через его коэффициенты. Эта задача представляла собой в полном смысле слова камень преткновения человеческой мысли.

В конце 18 века знаменитый французский ученый Лагранж показал, что корни заданного уравнения можно выразить через корни некоторого вспомогательного уравнения, называемого, по Лагранжу, резольвентой. Эти результаты оказались неутешительными. Если рассматривать уравнения второй, третьей и четвертой степеней, то все обстоит благополучно: по сравнению с заданным уравнением степень резольвенты на единицу ниже. Что касается уравнения пятой степени; его резольвента имеет уже шестую степень, способ Лагранжа не применим.

В 1798 г. итальянский ученый Руффини пытается доказать, что общее уравнение выше четвертой степени не решается в радикалах; но его рассуждения оказались неполными.

Строгое доказательство невозможности решения в радикалах уравнений выше четвертой степени было впервые дано выдающимся норвежским математиком Абелем. Универсальной формулы в радикалах для корней произвольного уравнения степени выше четвертой не существует. Но отсюда отнюдь не следует, что любое конкретное уравнение нельзя решить при помощи радикалов. Можно ли по виду уравнения выяснить, разрешимо оно в радикалах или нет?

Исчерпывающий ответ был найден Галуа (1811-1832). Он показал, что разрешимость или неразрешимость того или иного уравнения в радикалах тесно связана с некоторыми свойствами так называемой группы уравнения. Галуа рассматривал группу всевозможных перестановок корней уравнения, переводящих рациональные соотношения между корнями в верные рациональные соотношения. Соотношения между корнями уравнения находятся на основании их связи с коэффициентами, используя обобщенные формулы Виета. Пусть многочлен f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1_­­­ + … +a_n имеет n различных корней x₁, x₂ …, x_n.. В этом случае он имеет разложение на множители вида:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n = a₀(x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n)

Разделим обе части этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в правой части скобки. Получим равенство:

xⁿ + ()x^n-1 + … + () = xⁿ – (x₁ + x₂ + … + x_n) x^n-1 + (x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n)x^n-2 + … +(-1)ⁿ x₁x₂ … x_n

Два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны.

x₁ + x₂ + … + x_n = -

x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n =

x₁x₂ … x_n = (-1)ⁿ

В тех случаях, когда уравнение выше четвертой степени разрешимо в радикалах, зачастую получаются громоздкие формулы, малопригодные для практического использования. Поэтому были разработаны так называемые приближенные или численные методы решения алгебраических уравнений. В технических приложениях, основываясь на методе приближенных, обычно достаточно знать лишь приближенные значения корней с некоторой заранее данной точностью.

Характерной особенностью численного метода является, во-первых, то, что он применим только для уравнений с числовыми, а не буквенными коэффициентами. Во-вторых, этот метод сводится, к некоторому неограниченному процессу получения приближенных значений корня с любой заданной степенью точности.

К численным методам приходится прибегать при решении различных задач математики, механики, астрономии, физики, техники и т. д.

Нередко приходится встречаться с уравнениями, коэффициенты которых являются приближенными числами. Очевидно, что при вычислении корней таких уравнений следует принимать во внимание погрешность, вносимую приближенными значениями коэффициентов. Учет этих погрешностей проводится при помощи методов, излагаемых в курсе приближенных вычислений.

На практике большей частью приходится иметь дело с уравнениями, имеющими действительные коэффициенты. В своей книге «Алгебра», изданной в 1894 г., гениальный русский математик Н. И. Лобачевский указал один из самых эффективных способов приближенного вычисления комплексных корней уравнения n-й степени с действительными коэффициентами: f(x)=

В научной литературе этот способ иногда неправильно называют методом Греффе, несмотря на то что он был предложен Греффе на три года позднее.

Отметим, что чисто комплексные корни алгебраических уравнений играют важную роль в различных приложениях, например в вопросах «устойчивости движения» в механике и в исследовании волновых движении.

Поиск по сайту: