Тема: «Тайны коэффициентов квадратного уравнения»

Тип урока: лекция

Продолжительность урока: 45 минут

Цель: Формирование знаний решения квадратных уравнений через коэффициенты

Задачи:

Обучающие:

· Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений через свойства коэффициентов

· Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов

· Создать условия для формирования мотивации выбора математики для последующего углубленного изучения.

· Выработать умения выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие:

· Развитие умения наблюдать, анализировать.

· Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.

Воспитательные:

· Воспитание навыков сотрудничества в процессе совместной работы.

· Воспитание самостоятельности, умения представлять выбранный способ решения уравнения

План урока:

Ход урока:

1. Организационный момент

Вступительное слово учителя.

Приветствие учеников, сообщаю цель, задачи занятия, план работы на занятии.

2. Актуализация опорных теоретических и практических знаний о способах решения квадратных уравнений

Теоретические вопросы:

Сформируйте определение квадратного уравнения. (Уравнение вида , где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причем a≠0.)

Какие вы знаете виды квадратных уравнений? (Приведенное квадратное уравнение - если его старший коэффициент равен 1; неприведенное квадратное уравнение - если старший коэффициент отличен от 1. Полное квадратное уравнение — у которого коэффициенты b и с отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых, т.е. хотя бы один из коэффициентов b, с равен нулю.)

Приведите примеры неполных квадратных уравнеий. (ах² = 0, ах² + bх = 0, ах² + с = 0)

Всегда ли имеют корни квадратные уравнения? (Нет, не всегда)

От чего зависит количество корней? (От дискриминанта D= b²-4ac)

Сколько корней в зависимости от дискриминанта может иметь квадратный трехчлен или квадратное уравнение? (Два различных корня, два одинаковых корня или нет корней).

По какой формуле можно квадратный трехчлен разложить на линейные множители? (ах² + bх + с =а(х – х₁)(х – х₂))

Практические задания:

Корни какого из уравнений обладают свойствами:

а) сумма корней равна 6, а произведение корней равно ─16;

б) один из корней равен 6;

в) корни равны.

На одной из створок доски с обратной стороны написаны уравнения:

х²-6х-16=0 а) корни 8 и -2

х²+6х-16=0 корни -8 и 2

х²+6х+ 16=0 нет действительных корней

х²-6х+16=0 нет действительных корней

х²-6х=0 б) корни 6 и 0

х²-2х-24=0 б) корни 6 и -4

х²-2х+24=0 нет действительных корней

х²-10х+25=0 в) корен равен 5

На основании какой теоремы вы выполняли это задание? (Приведенное квадратное уравнение имеет вид х² + px +q= 0, его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид )

Составить уравнения к задачам и найдите решение.

Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 210. (х²+х-210=0 корни 14 и -15, следовательно числа 14 и 15)

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найти стороны прямоугольника. (Периметр- сумма длин всех сторон. 2х+2у=34 или х+у=17. По теореме Пифагора х² +у²=169. Стороны прямоугольника 5 и 12 см)

Две машинистки, работая вместе, могут выполнить задание за 3 часа. Сколько времени потребуется для выполнения этого задания первой машинистке, если она может выполнить все задание на 8 часов быстрее второй? ( 4 часа)

Скорость моторной лодки в стоячей воде 7 км/ч. Время, затраченное на движение лодки на 24 км по течению и на 24 км против течения равно 7 часам. Найти скорость течения реки. ( 1 км/ч)

3. Объяснение нового материала

Даны уравнения: х² ─ 243х+242=0 и 2х² ─7х+5=0. За 20 секунд найти их корни.

Решая математические задачи, часто приходится встречаться с квадратными уравнениями. Поэтому помимо основных формул для вычисления корней таких уравнений полезно знать методы устного решения. Это помогает не только экономить время, но и развивать внимание. Конечно, не каждое квадратное уравнение можно решить с помощью свойства его коэффициентов, но в школьных учебниках многие уравнения решаются таким способом.

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+b+с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ =1, х₂=с/а.

Доказательство: В уравнении ax² + bx + c = 0, его корни x_1,2 = . Представим b из равенства a + b + c = 0, b=-a-c. Подставим это выражение в формулу для корней:

х_1,2=

= х₁= х₂=

Отсюда следует: х₁=1, а х₂ = .

418х² - 1254х + 836 = 0. Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить. a = 418, b = -1254, c = 836. х₁ = 1 х₂ = 2

Если a - b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c = 0, то: х₁=-1, а х₂ =- Доказательство провести дома самостоятельно.

Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде:

3 — 14х + 16 = 0 а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D₁ = k² – ac = (- 7)² – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D₁ > 0, два различных корня;

. х₁ = 2 х₂ = 8/3 Ответ: 2; 8/3

4. Закрепление изученного материала

67х² – 75х + 8 = 0

Решение. Замечаем, что 67 + 8 = 75, следовательно, х₁ = = 1, х₂ =

19х² + 15х – 34 = 0.

Решение. Так как 19 + 15 – 34 = 0, то искомые числители дробей равны 19 и -34, тогда, х₁ = 1, х₂ = -

3х² – 5х + 2 = 0; 5х² + 9х –14 = 0; 5х² + х – 6 = 0; 5х² + 4х - 9 = 0; х² + 29х – 30 = 0; х² + 9х + 1 = 0;

5. Самостоятельная работа

Решаем уравнения из таблицы и все последовательно заполняем

Уравнение	a	b	с	Д	х1	х2	х1+х2	х1 х2
х2 - 2000х – 2001 = 0
313х2 + 326х + 13+ = 0
83х2 – 97х + 14 = 0
345х2 – 137х – 208 = 0
(3р-3,5)х2-5рх+2р+ =0

6. Подведение итогов обучения.

7. Домашнее задание

Поиск по сайту: