Квадратные уравнения. Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ,

где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причем a≠0.

а, b, с соответственно называются: а — первый, или старший, коэффициент; b — второй коэффициент, или коэффициент при х; с — свободный член.

Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых, т.е. хотя бы один из коэффициентов b, с равен нулю.

Рассмотрим как решаются неполные квадратные уравнения:

1. Если уравнение имеет вид ах² = 0, то оно имеет один корень х = 0.

2. Если уравнение имеет вид ах² + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах + b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получаем два корня: х₁ = 0;

3. Если уравнение имеет вид ах² + с = 0, то его преобразуют к виду ах² = - с и далее . В случае, когда — отрицательное число, уравнение не имеет корней. В случае, когда — положительное число, т. е. = m, где m > 0, уравнение х² = m имеет два корня: .

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня. Что можно сказать о полном квадратном уравнении, сколько корней имеет оно?

Графиком функции у = ах² + bх + с является парабола. Корнями квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 служат абсциссы точек пересечения параболы у = ах² + bх + с с осью х. Парабола может пересекать ось х в двух точках, может касаться оси х, т. е. иметь с ней лишь одну общую точку, может вообще не пересекаться с осью х.

Это значит, что квадратное уравнение может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней. В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных.

Рис.3

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Поиск по сайту: