Способы решения квадратных уравнений

1.СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х² + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0. Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что числа 2 и - 12 являются корнями уравнения х² + 10х - 24 = 0.

2.СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х² + 6х в следующем виде: х² + 6х = х² + 2х 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. х² + 2х 3 + 3² = (х + 3)². Преобразуем теперь левую часть уравнения х² + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:

х² + 6х - 7 = х² + 2х 3 + 3² - 3² - 7 = (х + 3)² - 9 - 7 = (х + 3)² - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)² - 16 =0, (х + 3)² = 16. Следовательно, х + 3 = 4, х₁ = 1, или х + 3 = -4, х₂ = -7.

3.СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант D= b²-4ac.

Таким образом,

Значит, квадратное уравнение можно переписать в виде

(1)

Теорема 1. Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней. Конечно, если учащиеся обучаются в профильном физико-математическом классе, то они по программе проходят и комплексные числа, а следовательно, одаренные дети знают, что при отрицательном дискриминанте квадратное уравнение имеет два комплексных корня.

Теорема 2. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид Значит, , т. е. единственный корень уравнения.

Теорема 3. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам ,

Доказательство. Перепишем квадратное уравнение в виде (1) . Положим тогда уравнение (1) примет вид (2).

По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения - положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что .Но, ,таким образом, задача свелась к решению двух уравнений: , .Из первого уравнения находим Из второго уравнения находим .

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

, (3)

Решить уравнение Зх² + 8х - 11 = 0. Здесь а = 3, b = 8, с = - 11, D = 196. Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3) x₁=1,

4.СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х² + px +q= 0, его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и знак зависит от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 2 и x₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x² + 8x + 7 = 0; x₁ = - 7 и x₂ = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0, или отрицателен, если p > 0.

x² + 4x – 5 = 0; x₁ = - 5 и x₂ = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x² – 8x – 9 = 0; x₁ = 9 и x₂ = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

5.СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у² + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = у₁/а и х₁ = у₂/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

2х² – 11х + 15 = 0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у² – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета

у₁ = 5 х₁ = 5/2 x₁ = 2,5

у₂ = 6 x₂ = 6/2 x₂ = 3.

6.СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+b+с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ =1, х₂=с/а.

Доказательство: В уравнении ax² + bx + c = 0, его корни x_1,2 = . Представим b из равенства a + b + c = 0, b=-a-c. Подставим это выражение в формулу для корней:

х_1,2=

= х₁= х₂=

Отсюда следует: х₁=1, а х₂ = .

418х² - 1254х + 836 = 0. Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу, его с легкостью можно решить. a = 418, b = -1254, c = 836. х₁ = 1 х₂ = 2

Б. Если a - b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c = 0, то: х₁=-1, а х₂ =- Доказывается аналогично А.

В. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде:

3 — 14х + 16 = 0 а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D₁ = k² – ac = (- 7)² – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D₁ > 0, два различных корня;

. х₁ = 2 х₂ = 8/3 Ответ: 2; 8/3

7.СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х² + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х² = - px - q. Построим графики зависимости у= х² и у = - px - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -прямая (рис.4). Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

х² - 3х - 4 = 0 (рис. 5).

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 3х + 4. Построим параболу у = х² и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х₁ = - 1 и х₂ = 4. Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 4.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х₁; 0) и D (х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни уравнения ах² + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD / OA= х₁х₂/ 1 = c/a. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

ОK = , ОF = S( ; )

Итак: 1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (SА > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 7,а) В(х₁; 0) и D(х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (SА = SК, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 7,б) в точке К(х₁; 0), где х₁ - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.7,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х² - 2х - 3 = 0 (рис. 8).Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1). Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 3.

Решим уравнение х² + 4х + 4 = 0. Определим координаты точки центра окружности по формулам: х = – у = = Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

у Ответ: х = – 2.

S (- 2; 2,5)

- 2 А х

Решим уравнение х² – 2х + 3 = 0. Координаты точки центра окружности

х = – у = = Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

у

S(1; 2)

А х Ответ: уравнение не имеет решения.

9.СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый способ решения квадратных уравнений, помещенный на страницах издания «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

ОВ = , АВ =

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z ² + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Номограмма дает значение положительных корней уравнения z ² + pz+q= 0. Если это уравнение имеет корни разных знаков, то,найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из –р. В случае когда оба корня отрицательны, берут z=-t и находят по номограмме два положительных корня уравнения t ² -pt +q = 0, а затем z₁=-t₁ z₂=-t₂. Если коэффициенты p,q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z=kt и решают посредством номограммы уравнение , где k берется с таким расчетом, чтобы имели место неравенства

Примеры.

1) Для уравнения z² - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z₁ = 8,0 и z₂ = 1,0 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z² – 9 z + 4 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,получим уравнение z² - 4, 5z + 2 = 0. Номограмма дает корни z₁ = 4 и z₂ = 0,5.

3) Для уравнения z² + 5 z – 6 = 0

номограмма даетположительный

корень z₁ = 1,0, а отрицательный

корень находим, вычитая

положительный корень из – р, т.е. z₂ = – р – 1 = – 5 – 1 = – 6,0

4) Для уравнения z² – 2z – 8 = 0 номограмма даетположительный

корень z₁ = 4,0, отрицательный равенz₂ = – р – z₁ = 2 – 4 = – 2,0.

5)Для уравнения z² + 4 z + 3 = 0, оба корня которого отрицательные числа, берем z₁ = – t и находим по номограмме два положительных корня t₁ и t₂ уравнения t² – 4 t + 3 = 0, это t₁ = 1 и t₂ = 3, а затем z₁ = – t₁ = – 1 и z₂ = – t₂ = – 3

6) Для уравнения z² – 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t ² – 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t₁ = 0,6 и t₂ = 4,4, откуда z₁ = 5 t₁ = 5 • 0,6 = 3,0 и z₂ = 5t₂ = 5 • 4,4 = 22,0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Рассмотрим знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

Примеры.1) Решим уравнение х² + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39». Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х² + 10х + 25.

Заменяя х² + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 – 2 – 2 = 3

2) А вот как древние греки решали уравнение у² + 6у - 16 = 0. Решение

у² + 6у = 16, или у² + 6у + 9 = 16 + 9. Выражения у² + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение можно записать так у² + 6у - 16 + 9 - 9 = 0. Откуда и получаем, что у + 3 = 5, или у = 2. Мы знаем, что есть еще один корень у=-5, однако древние греки не знали понятия отрицательного числа.

3) Решить геометрически уравнение у² - 6у - 16 = 0. Преобразуя уравнение, получаем у² - 6у = 16.

На рис. находим «изображения» выражения у² - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.

Значит, если к выражению у² - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3. Заменяя выражение у² - 6у равным ему числом 16, получаем: (у - 3)² = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25, или у - 3 = ± 5, где у₁ = 8 и

у₂ = - 2.

Поиск по сайту: