Приближенное вычисление корней

Впервые приближенные вычисления встречаются у вавилонян при извлечении квадратных корней.

«Ворота гар и 2 локтя высота; 2 локтя ширина. Их диагональ что? Ты: 0;10, ширину, возведи в квадрат. 0;1,40 площадь, ты видишь. Обратное от 0;40 гар, высоты, образуй; на 0;1,40, площадь, помножь. 0;2,30, ты видишь. от 0;2,30 отломи. 0;1,15 видишь ты. 0;1,15 к 0;40, высоте, прибавь. 0;41,15 видишь ты. 0;41,15 их диагональ. Таков способ.»

Все данные выражаются в гарах: 1 гар=12 локтей, высота ворот а = ; ширина b = . Вычисляют b² = , затем умножают на b² и получают , от него находят половину и складывают с а.

Вавилоняне пользовались приближенной формулой

Но как они ее получили, мы можем только догадываться. Требуется извлечь квадратный корень из числа А = а² + х, где а² -наибольший целый квадрат, не превосходящий числа А. В качестве первого приближения брали (с недостатком), вторым приближением было = А/ = а + х/ а (с избытком), затем брали их среднее арифметическое = ( + )/2 = а + х/2 а. На этом вавилоняне останавливались. Ученые Индии и Европы, перенявшие от вавилонян их способ приближения, шли дальше. Они вычисляли = А/ , = ( + )/2= а + х/2 а- . При малых значениях дроби х/ а по сравнению с а в последнем слагаемом можно считать а + х/2 а . Получаем три первых члена разложения квадратного корня в степенной ряд:

В ХV веке ал-Каши в словесной форме привел правило извлечения корня n-ой степени,

Благодаря методу Штурма, можно найти число корней многочлена, которые содержатся между рациональными числами а и b. Теперь поставим такую задачу насколько сузить эти границы, чтобы новые границы а’ и b’ обладали наперед заданным числом совпадающих первых десятичных знаков; т.е. корень будет вычислен с заданной точностью. За долго до Штурма этими вопросами интересовался еще Архимед и позже арабские математики.

Выделение участка, содержащего единственный корень уравнения, дает первое (достаточно грубое) приближение этого корня. Чтобы повысить точность этого приближения, надо уменьшить исходный участок. Для этого применяют метод дихотомии (последовательное деление отрезка пополам) либо метод хорд (линейную интерполяцию). Эти способы известны еще с древних времен. Еще быстрее приводит к нужной точности метод касательных, разработанный Ньютоном.

Пусть простой корень многочлена f(х), а< < b, f(а) и f(b) имеют разные знаки.

Поиск по сайту: