Границы корней

При решении различных задач математики, физики, и техники часто приходится делать те или иные заключения о расположении корней многочлена с числовыми коэффициентами, не зная его корней. При этом рассматривают методы нахождения границ действительных корней многочлена и методы отделения корней. Многочлены с действительными коэффициентами будем рассматривать как действительные непрерывные функции действительного переменного х.

Если рассматривать график многочлена, то его действительными корнями будут абсциссы точек пересечения его графика с осью х и только они.

Степень многочлена нечетная, обладает хотя бы одним действительным корнем; если число действительных корней больше единицы, то оно равно трем или пяти, так как комплексные корни попарно сопряжены.

Построим график, беря лишь целые значения х и вычисляя соответствующие значения . Видно, что имеет три действительных корня- положительный корень и два отрицательных , причем . Действительно ли нашли все корни? Правее точки х=2 и левее х=-4 уже нет корней многочлена?

Взяв лишь целочисленные значения, можно предположить, что построенный график не вполне отражает истинное поведение функции, могут быть более мелкие колебания, т.е. могли потерять некоторые корни.

Отсюда вытекает потребность в методе для разыскания границ, между которыми расположены действительные корни многочлена с действительными коэффициентами, и для определения числа этих корней.

Первый способ. Нетрудно убедиться, что действительные корни многочлена f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1_­­­ + … +a_n следует искать в интервале (-М,М), где

М= , старший коэффициент, А- максимум модулей остальных коэффициентов (наибольшая из абсолютных величин остальных коэффициентов). Это вытекает из леммы о модуле старшего члена.

Лемма о модуле старшего члена. Если дан многочлен n–й степени, , f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1_­­­ + … +a_n c произвольными комплексными коэффициентами и если к -любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений неизвестного х имеет место неравенство

Т.е. модуль старшего члена будет больше модуля суммы всех остальных членов, притом во сколько раз угодно.

Пусть А- наибольший из модулей коэффициентов A=max(). По свойству модулей суммы . Полагая, что , получим , откуда

Таким образом, выполняется, если х удовлетворяет, помимо условия , также , т.е. если . Правая часть больше 1, то и для значений х имеет место

Для многочлена , , верхней границей служит число 9. (-9;9). Обычно граница оказывается очень высокой.

Второй способ.

Достаточно уметь находить лишь верхнюю границу положительных корней любого многочлена.

Пусть дан многочлен степени n и будет верхней границей его положительных корней. Рассмотрим многочлены

Найдем верхние границы их положительных корней, пусть это будут . Тогда число нижняя граница положительных корней многочлена если есть положительный корень , то будет положительным корнем для и из следует . Аналогично числа и служат соответственно нижней и верхней границами отрицательных корней многочлена

Все положительные корни удовлетворяют неравенствам ,а отрицательные: . Возникает вопрос: как найти верхнюю границу положительных корней?

Способ Маклорена.

Дан многочлен f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1_­­­ + … +a_n, a₀>0. Пусть а_к, k , будет первым из отрицательных коэффициентов, если бы таких коэффициентов не было, то f(x) не мог бы иметь положительных корней. Пусть В- наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов, тогда служит верхней границей положительных корней многочлена.

Пусть , заменяя каждый из коэффициентов числом нуль, а каждый из коэффициентов , - числом -В, мы можем лишь уменьшить значение многочлена, т.е.

,

Если , то, так как , выражение в квадратных скобках окажется положительным, значение будет строго положительным. Значения х, удовлетворяющие неравенству , не могут служить корнями для

Для при k=2 B=7 данный метод дает в качестве верхней границы положительных корней число , что можно заменить ближайшим большим целым числом 4.

Третий способ. Метод Ньютона.

Пусть дан многочлен с действительными коэффициентами и положительным старшим членом a₀ . Если при х=с многочлен и все его последовательные производные принимают положительные значения, то число с служит верхней границей положительных корней.

По формуле Тейлора

f(x)=f(c)+(x-c)f’(c)+(x-c)^{2 n}

Если , то справа будет стоять строго положительное число, т.е. такие значения х не могут служить корнями для . Чтобы найти число с,поступают следующим образом. - положительное число, поэтому многочлен является возрастающей функцией. Т.е. существует такое число , что при производная положительна. При производная будет возрастающей функцией, поэтому существует такое число , , что при - положительна. Итак далее, мы дойдем до искомого числа с.

Легко проверить, что все многочлены положительны при х=2. Т.е. число 2 является верхней границей положительных корней многочлена .

Найдем нижнюю границу отрицательных корней для нашего многочлена. , чтоб старший коэффициент был положительным.

Эти многочлены положительны, при х=4, число 4 служит верхней границей положительных корней для , поэтому число -4 будет нижней границей отрицательных корней для

Многочлены

Аналогично в качестве верхних границ положительных корней можно найти соответственно числа 1 и 4, а поэтому нижней границей положительных корней многочлена служит число =1, верхней границей отрицательных корней число - . Т.е. положительны корни расположены между числами 1 и 2, отрицательные корни- между -4 и - .

Поиск по сайту: