Отделение действительных корней

Метод Штурма

Дана некоторая упорядоченная конечная система действительных чисел, отличных от нуля, 1,3,-2,1,-4,-8,-3,4,1. Выпишем последовательно знаки этих чисел +,+,-,+,-,-,-,+,+. В системе знаков четыре раза стоят рядом противоположные знаки. В системе чисел имеет место четыре перемены знаков.

Рассмотрим многочлен с действительными коэффициентами, который не имеет кратных корней. Конечная упорядоченная система отличных от нуля многочленов с действительными коэффициентами (1) называется системой Штурма для многочлена , если выполняются условия:

1) соседние многочлены системы не имеют общих корней;

2) последний многочлен не имеет действительных корней;

3) если - действительный корень одного промежуточного многочлена , , то и имеют разные знаки;

4) если - действительный корень многочлена то произведение меняет знак с минуса на плюс, когда х, возрастая, проходит через точку .

Всякий многочлен с действительными коэффициентами, не имеющий кратных корней, обладает системой Штурма.

Если действительное число с не является корнем данного многочлена , а система Штурма имеет вид (1), то имеем систему действительных чисел , вычеркнем из нее все числа, равные нулю, обозначим через W(с) число перемен знаков в оставшейся системе. W(с) называют числом перемен знаков в системе Штурма многочлена при х=с.

Теорема Штурма

Если действительные числа a и b, a< b, не являются корнями многочлена , не имеющего кратных корней, то и разность равна числу действительных корней многочлена , заключенных между a и b.

Доказательство.

Для нахождения числа корней необходимо установить, насколько уменьшается число перемен знаков в системе Штурма при переходе от a к b. В качестве a берут нижнюю границу отрицательных корней, в качестве b -верхнюю границу положительных корней.

Рассмотрим, как меняется число W(x) при возрастании х. Пока х, возрастая, не встретит корня ни одного из многочленов системы Штурма (1), знаки многочленов этой системы не будут меняться, и число W(x) останется без изменения. С учетом этого и условия 2) остается рассмотреть два случая: переход х через корень одного из промежуточных многочленов , и переход х через корень самого многочлена f(x).

Пусть - корень многочлена , , тогда, по условию 1), и отличны от нуля. Можно найти такое положительное число , быть может и очень малое, что в отрезке многочлены и не имеют корней и поэтому сохраняют постоянные знаки, причем, по условию 3), эти знаки различны. Отсюда следует, что каждая система чисел

а)

и б) обладает ровно одной переменной знаков независимо от того, каковы знаки чисел Так, например, если многочлен на рассматриваемом отрезке отрицателен, а положителен и если , то системам а) и б) соответствуют системы знаков

.

При переходе х через корень одного из промежуточных многочленов системы Штурма перемены знаков в этой системе могут лишь перемещаться, но не возникают вновь и не исчезают, а поэтому число W(x) при таком переходе не изменяется.

Пусть, с другой стороны, будет корнем для . Существует такое положительное число , что отрезок не содержит корней многочлена , а поэтому сохраняет на этом отрезке постоянный знак. Если этот знак положителен, то ввиду условия 4) сам многочлен f(x) при переходе х через меняет знак с минуса на плюс, т.е. . Система чисел и соответствуют системам знаков в системе Штурма теряется одна перемена. Если же знак на отрезке отрицателен, то снова, ввиду условия 4), многочлен f(x) меняет знак с плюса на минус при переходе х через , т.е. , , система чисел соответствует системе знаков В системе Штурма снова теряется одна перемена.

Таким образом, число W(x) меняется (при возрастании х) лишь при переходе х через корень многочлена f(x), причем в этом случае оно уменьшается ровно на единицу.

Этим доказана теорема Штурма. Для того чтобы воспользоваться ею для разыскания общего числа действительных корней многочлена f(x), достаточно в качестве а взять нижнюю границу отрицательных корней, в качестве в - верхнюю границу положительных корней. На практике для определения общего количества корней границы не столь важны, и рассматривают значение многочлена на .

Построение системы Штурма

Покажем, что всякий многочлен с действительными коэффициентами, не имеющий кратных корней, обладает системой Штурма.

Предположим, что = f’(x), чем обеспечивается выполнение условия 4) из определения системы Штурма. Если - действительный корень многочлена , то f’( ) 0. Если f’( ) , то f’( ) в окрестности точки , а поэтому меняет знак с минуса на плюс при переходе х через , это же верно тогда и для произведения . аналогичные рассуждения проходят в случае f’( ) . Делим затем на и остаток от этого деления, взятый с обратным знаком, принимаем за .

Вообще, если многочлены и уже найдены, то будет остатком от деления на , взятым с обратным знаком.

Такой метод отличается от алгоритма Евклида, примененного к многочленам и , лишь тем, что у остатка каждый раз меняется знак на обратный и следующее деление производится уже на остаток с обратным знаком. Так как при разыскании наибольшего делителя такая перемена знаков не существенна, то процесс остановится на некотором , являющемся наибольшим общим делителем многочленов и , причем из отсутствия у кратных корней, т.е. из его взаимной простоты с , будет следовать, что на самом деле является некоторым отличным от нуля действительным числом.

Тогда построенная система многочленов , , ,…, удовлетворяет условию2). Для доказательства условия 1) предположим, что соседние многочлены и обладают общим корнем . Тогда, по , будет корнем и для многочлена . Переходя к равенству , получим, что служит корнем и для . продолжая далее, видим, что служит общим корнем для и , что противоречит нашим предложениям. Выполнение условия 3) вытекает из , если , .

применим метод Штурма к данному многочлену.

Делим ,чтобы избежать дробных коэффициентов, умножаем на положительное число 5 и делим на , в остатке получим , далее умножаем на 5, а на 2, и , только поменяем знаки на противоположные.

Делим на , предварительно умножая на 66 и на 5 соответственно. В остатке , этот остаток делим на , получаем

Аналогично находим

Определим знак многочленов этой системы при и , причем следует смотреть лишь на знаки старших коэффициентов и на степени многочленов.

							Число перемен знаков
	-	+	-	-	+	-
	+	+	+	-	-	-

При переходе х от к система Штурма теряет три перемены знаков, а поэтому многочлен имеет ровно три действительных корня.

Рассмотрим более простой пример

, найдем число его действительных корней, а также границы, между которыми каждый из этих корней расположен.

Составим систему Штурма для многочлена

Умножим на 3, и поделим на

Найдем число перемен знаков при и

					Число перемен знаков
	-	+	-	+
	+	+	+	+

Многочлен имеет три действительных корня. Определим более точное положение корней

					Число перемен знаков
х=-3	-	+	-	+
х=-2	+		-	+
х=-1	+	-	-	+
х=0	-		+	+
х=1	+	+	+	+

Система Штурма многочлена теряет по одной перемене знаков при переходе х от -3 к -2, от -1 к 0, от 0 к 1. Корни удовлетворяют неравенствам

Поиск по сайту: