Метод Лобачевского

Позволяет найти абсолютное значение корня, имеющего максимальный модуль. После этого знак корня легко определить подстановкой в заданное уравнение. Единственное ограничение на применение метода- корень, максимальный по модулю, должен быть единственным.

Рассмотрим уравнение с действительными коэффициентами
, заменим это уравнение другим, корни которого равны квадратам корней заданного. Будем повторять этот прием многократно. Тогда корни уравнения «возведутся в квадрат», потом в четвертую степень, в восьмую и т.д. В результате максимальный по модулю корень станет играть подавляющую роль перед остальными и его легко будет вычислить по коэффициентам полученного уравнения. Если извлечь из ответа корень нужной степени, то получится (приближенно) абсолютное значение корня исходного уравнения.

Необходимо найти многочлен, корни которого равны квадратам корней исходного многочлена, не вычисляя корней исходного многочлена. Нам задан многочлен , многочлен Р(х) представим в виде где корни уравнения Р(х)=0. Рассмотрим многочлен Р(-х)= или . Рассмотрим произведение многочленов , оно не содержит нечетных степеней х. Заменим на t, получится нужный многочлен , корни которого равны квадратам корней заданного многочлена Р(х). Для вычисления коэффициентов многочлена можно перемножить , привести подобные члены при одинаковых степенях х (нечетные степени при этом исчезнут) и заменить на

Формулы для коэффициентов при n=3 и n=4

n=3

n=4

Вычисление коэффициентов несложно поставить на компьютер или калькулятор. После вычисления коэффициентов их значения присваиваются коэффициентам вычисляются новые и т.д. пока максимальный по модулю корень не станет превалирующим.

Чтобы найти значение этого корня, вернемся к формулам многочлена

или

И если корень по модулю значительно превосходит остальные, то выражение в скобках близко к 1 и приближенно . Таким методом можно найти значения остальных корней уравнения, если все они по модулю различны. Пусть корень меньше , но значительно превосходит остальные. Тогда , в скобках главную роль играет , можно приближенно считать, что . Аналогично Приближения, полученные по методу Лобачевского, исключительно быстро сходятся к точному решению.

Заключение

В своей работе я рассмотрела следующие вопросы:

в первой главе представлены психолого-педагогические особенности подростков, причем указаны те особенности, которые необходимы учителю математики при работе;

во второй главе представлены теоретические основы многочленов от одного переменного и методов приближенного вычисления, подробно рассмотрены и решены уравнения высших степеней.

В процессе выполнения работы в соответствии с целями и задачами ВКР получены следующие результаты:

- разобраны, основанные на материале программы общеобразовательной средней школы, методы решения целых рациональных уравнений;

- описаны различные подходы к уравнениям высших степеней, методы приближенных корней;

- разработан элективный курс для 9 классов «Мир квадратных уравнений». Здесь уделяется особое внимание различным способам их решения. Ведь ученику часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее.

- предоставлены конспекты уроков уравнений третьей и четвертой степеней, конспект факультативного занятия в 11 классе по теме: «Границы корней многочлена»;

- выявлена роль целых- рациональных уравнений.

Некоторые пункты моей работы изложены таким образом, что их можно изучать независимо от других, рассматривать их как материал для докладов.

Практическая ценность работы определяется тем, что в ней разработаны учебные материалы для проведения элективного курса по теме «Мир квадратных уравнений», в частности, подобраны к ней задачи исходя из знаний учащихся.

Список литературы

1. Беланов А.А. Решение алгебраических уравнений методом Лобачевского. М.: Наука, 1989.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. 13-е изд. М.: Дрофа, 2010.

3. Брудно А.Л. Метод Лобачевского. - М., Квант, № 4/1989.

4. Вересова Е.Е., Денисова Н.С., Полякова Т.Н. Практикум по решению математических задач. М.: Просвещение, 1979.

5. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждени 25-е изд М.: Мнемозина, 2009.

6. Даан- Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: Мир, 1986.

7. Доморядов А.П. Энциклопедия элементарной математики. Книга вторая: Алгебра. Под ред. Александрова П.С., Маркушевича А.И., Хинчина А.Я. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951.

8. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2009.

9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: Учебник. 16-е изд. М.: «Физматкнига», 2007.

10. Лейтес Н.С. Умственные способности и возраст. М.: «Просвещение», 1971.

11. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. 11-е изд. .: Мнемозина, 2009.

12. Никифоровский В.А. В мире уравнений. – М.: Наука, 1987.

13. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., «Просвещение», 1972.

14. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. 2-е изд. М.: «Просвещение», 1966.

15. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. М.:Факториал, 1997.

16. Пентковский М. В. Считающие чертежи. (Номограммы) -е изд. .: Физматгиз, 1959.

17. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/1972.

18. Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник-практикум по алгебре. Ч. IV .: «Просвещение», 1985.

19. Худобин А.И., Худобин Н.И., Шуршалов М.Ф. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. М.: Просвещение, 1966.

20. Шафаревич И.Р. О решении уравнений высших степеней (метод Штурма) М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.

21. Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. История математики: учебное пособие для студентов педвузов. Коломна:Коломенский государственный педагогический институт, 2008.

22. Internet

Поиск по сайту: