АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Неперіодичні сигнали

Читайте также:
  1. Виды сигнализации. Порядок применения сигнализации.
  2. Випадкові сигнали
  3. Внешние датчика охранной сигнализации
  4. Внутренние датчика охранной сигнализации
  5. Вопрос 3. В какой момент включается специальная световая и звуковая сигнализация при следовании пожарного автомобиля к месту вызова?
  6. Гармонічні сигнали
  7. Зарисовать ночную ходовую сигнализацию судна
  8. Періодичні сигнали
  9. Повідомлення та сигнали
  10. Пожарная безопасность. Нормативно-правовые акты. Виды средств пожаротушения и сигнализации. Действия работников при возникновении пожара.
  11. Пожарная сигнализация

 

Будь-який фізично реалізований сигнал із кінцевою енергією обов’язково обмежений у часу, або, іншими словами, функція, що зображує такий сигнал, абсолютно інтегрується. У зв’язку з цим неперіодичний сигнал може бути виражений відповідно модифікованою формулою періодичного сигналу. Модифікація, що зручно здійснити в комплексній формі запису, полягає в приравнюванні періоду коливаннь незкінченності і випливаючих із цього нескладних математичних перетворень.

Підставляючи вираз (4.19) у формулу (4.18), одержуємо:

Так як

(4.24)

то розподіл на нескінченно довгий період може бути замінено множенням на , що, у свою чергу, перетворює процес підсумовування в інтегрування і твір розмірів nW - у поточну частоту W. Отже,

. (4.25)

З цього виразу можна виділити величину

, (4.26)

який відіграє роль огибающей амплітуд, що складають спектр, і називається спектральною густиною, спектральною функцією або спектральною характеристикою відповідної неперіодичної функції. Вона іменується також прямим перетворенням даної функції по Фур’є. Вираз

, (4.27).

що подає залежність неперіодичної функцій від її спектральної характеристики, називається зворотним перетворенням Фур’є.

Порівнюючи комплексні форми запису періодичного і неперіодичного сигналів, одержуємо

. (4.28)

 

Це означає, що спектральну щільність Ф(W) можна одержати, якщо комплексну амплітуду n-й гармоніки розділити на смугу частот, що відокремлює сусідні лінії дискретного спектра, тобто Ф(W) дорівнює щільності амплітуд і має розмірність амплітуда на герц. Таким чином, що обгинає суцільного спектра (модуль спектральної щільності) неперіодичної функції й огибающая лінійчатого спектра періодичної функції збігаються за формою і відрізняються тільки масштабом. Спектральна щільність Ф(W) має всі основні властивості комплексної амплітуди Сn.

Коливання, що не задовольняють умовам Дірихле, не можуть бути подані перетворенням Фур’є, так як не існує відповідних їм спектральних функцій. Наприклад, f(t)=E при t³0 і f(t) = 0 при t<0. Для цієї функції

проте и при не наближається ні до якої межі, отже, спектральна функція не визначена. Причина в тому, що це коливання не є таким, що абсолютно інтегрується.

У таких випадках замість перетворення Фур’є вигідно користуватися так званим перетворенням Лапласа. Для цього перетворення коливання виражається так, щоб при t<0 f(t)=0. Суть перетворення складається у введенні поняття комплексної частоти, що дає можливість перебороти деякі математичні трудності. Комплексна частота позначається через р і виражається як

. (4.29)

Символічно перетворення Лапласа записуються у вигляді

, (4.30)

, (4.31)

а спектральна функція Ф(р) називається відображенням оригіналу f(t).

Виходячи з вище викладеного, пара перетворень Лапласа для неперіодичного сигналу може бути записана в такий спосіб:

(4.32)

і

, (4.33)

Перетворення Лапласа дає можливість розглядати й аналізувати прилади в умовах більш широкого класу коливань, чим це дозволяє перетворення Фур’є. Замінюючи у відображенні f(t) p на jW, можемо одержати відповідні спектральні функції.

Енергія, що виділяється неперіодичним сигналом на одноомному опорі, виражається формулою

. (4.34)

Записуючи її значення через модуль спектральної щільності сигналу Ф(W), можна визначити розподіл цієї енергії по спектрі неперіодичного коливання:

,

що, міняючи порядок інтегрування, можна переписати у формі

,

або

.

Тому що добуток двох сполучених чисел дорівнює квадрату їхнього модуля, то

,

або

. (4.35)

Останній вираз відомо за назвою рівності Персеваля. Він визначає повну енергію, що виділяється сигналом f(t) за увесь час його існування. Середня потужність для будь-який абсолютно що інтегрується функції, рахуючи її період безкінечним, дорівнює нулю. Отже, |Ф(W)|2 є енергія сигналу, що припадає на 1 гц поточної частоти W, або спектральна щільність енергії сигналу.

Формула (4.35) використовується для розрахунку необхідної смуги пропускання каналу зв’язку. Ця смуга позначається Qмакс і вибирається так, щоб її обмеженість не викликала втрат енергії, що перевищують припустимий розмір, наприклад 10%. Для цього щодо Qмакс вирішується рівняння

. (4.36)

Коливання або сигнал f(t) завжди є дійсною функцією часу, проте компактність комплексних співвідношень призвела до частого використання комплексного представлення негармонійних коливань. Щоб таке подання було однозначним у усіх відношеннях, воно здійснюється аналітичними, або голоморфними, функціями. Вони, приходячи за формою функціями двох незалежних змінних х и у, фактично залежать тільки від комбінації цих змінних (x+jy), тобто є функцією однієї незалежної змінної z.

Аналітичність комплексної функції перевіряється умовами Коші-Рімана, відповідно до котрих щодо функції [Р(х,у) +j(x,y)] завжди повинні виконуватися рівності

Для досягнення аналітичності комплексної функції, за допомогою котрої бажано подати реальний сигнал , останній записується у формі

(4.37)

як функція комплексного часу t+jt.

При цьому мниму частину виразу (4.37) варто обчислювати по формулі

(4.38)

і, отже,

. (4.39)

Співвідношення (4.38) і (4.39) називаються парою перетворень Гільберта. f(t) і g(t) іменуються сполученими коливаннями.

Для випадку гармонійного коливання дістаємо

,

 

а для випадку гармонійного коливання маємо

.

Таким чином, перетворення Гільберта для гармонійного коливання зводиться до його переміщення на у бік запізнювання. Якщо коливання f(t) складається із суми гармонійних коливань, то кожна гармонійна складова gn(t) буде квадратурна (повернена нa у бік відставання) відповідної складової fn(t). Хоча форми f(t) і g(t) різноманітні, проте коливання, що подаються ними, мають однаковий спектр амплітуд.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)