|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Періодичні сигнали
З визначення періодичності випливає, що кожний сигнал (функція), що підходить під це визначення, ставиться до групи детермінованих сигналів. Якщо ця функція, крім того, задовольняє в межах одного періоду так називаним умовам Дірихле, тобто, по-перше, усюди однозначна, кінцева і кусочно-безупинна і, по-друге, має обмежене число максимумів і мінімумів, то її можна подати у вигляді безкінечної суми ортогональних функцій, тобто ортогонального ряду, що має вигляд , (4.3) у який є множиною лінійно-незалежних функцій, тобто таких функцій, жодна з який не може бути виражена лінійною комбінацією інших функцій. Для математично коректного здійснення розкладання коефіцієнти повинні вибиратися так, щоб виконувався критерій збіжності в середньому або середньому квадратичному, тобто . (4.4) Ця вимога для систем ортогональних або ортонормованних функцій виконується порівняно просто. Ортогональними іменуються функції, що виконують у потрібному для нас проміжку від t1 до t2 (протягом одного періоду) умову , (4.5) де n¹m. Включена у вираз (4.5) функція v(t) називається базової або вагової. Ортонормованними іменуються ті функції, що, крім умови (4.5), виконують також умову . (4.6) Легко переконатися, що основна тригонометрична система функцій 1, cos х:, sin x, cos 2x, sin 2х... ортогональна з ваговою функцією, рівна одиниці, але не ортонормованна. Розрахунок коефіцієнтів Гц зводиться до такогоОбидвісторони вихідного рівняння (4.3) множаться на і v(t) і нтегруються в проміжку від t1 до t2,тобто . У силу ортогональности функцій одержуємо . (4.7) Якщо система функцій ортонормована, те знаменник формули (4.7) дорівнює одиниці. Одним із найбільше поширених засобів представлення детермінованих сигналів є ряд Фур’є: . (4.8) У цьому виразі A0, an і bn -незалежні від часу коефіцієнти, що варто розуміти як A0 - середнє значення постійної складового сигналу (функції), а an і bn - амплітуди членів розкладання, або гармонік. Перераховані коефіцієнти обчислюються по формулах , (4.9) , (4.10) , (4.11) Приведеного виразу отримані шляхом множення обох сторін рівняння ряду Фур’є (4.8) на ту саму тригонометричну функцію (sin nWt, cos nWt) до інтеграції їх у межах періоду. Якщо розглянута функція f(t) парна, тобто , то bn обертається в нуль; якщо непарна, тобто, , те an обертаються в нуль. Представлення функції у вигляді ряду Фур’є єїї спектральним виразом, тому що розкриває частотний склад розглянутого сигналу. Спектр періодичної функції називається лінійчатим, або дискретним, тому що складається з окремих ліній, що відповідають дискретним частотам. Крім приведеної форми запису ряду Фур’є (4.8) поширена також тригонометрична форма, що має перед раніше розглянутої деякої формально-математичної переваги. Вона має вид . (4.12) Її коефіцієнти виражаються через раніше обчислені [див. вирази (4.9) - (4.11)] шляхом нескладних перетворень. З огляду на те, що одержуємо отже, , або . У випадку такого подання сигналу коефіцієнт Anіменується модулем амплітуди, а yn - фазою відповідної гармоніки. У ряді випадків вигідно користуватися комплексною модифікацією приведеного ряду (4.8). Її одержують, використовуючи перетворення формули Ейлера, тобто виразу , (4.15) . (4.16) Підставляючи ці вирази у формулу (4.8), одержуємо , або . Виходячи з того, що, відповідно до виразів (4.10) і (4.11), і з огляду на рівності (4.15) і (4.16), цей вираз можна переписати у вигляді і аналогічно . А відповідно до виразу (4.9) , то можливо формулу (4.17) записати у вигляді , (4.18) де (4.19) є комплексною амплітудою n-й гармоніки для . Формули (4.18) і (4.19) іменуються парою перетворень Фур’є. Друга з них дозволяє знайти спектр, тобто,сукупністьгармонійнихскладових, утворюючих у сумі вихідну функцію f(t). Перша дає можливість обчислити функцію, якщо відомі її гармонійні складові. Комплексна амплітуда Сn пов’язана з раніше введеними коефіцієнтами в такий спосіб: . (4.20) Виражений формулою (4.18) спектр поширюється на значення n від -¥ до +¥, тобто як на позитивні, так і на відємні частоти. Звісно негативні частоти в природі не існують. У отриманому виразі вони мають чисто формальний, математичний характер, обумовлений застосуванням, комплексної форми запису для представлення реальної функції часу. Однією із найважливіших властивостей періодичного сигналу є те, що повна потужність, що виділяється їм на якийсь навантаженні (заради спрощення розрахунку звичайно розглядається потужність, що виділяється на опорі в 1 Ом), є сумою середніх потужностей, що виділяються постійною складовою і кожною з гармонік сигналу окремо. Таким чином, по огибаючій гармонік можна судити про розподіл потужності в спектрі періодичного сигналу. Довести викладене можна, базуючись на тому, що розкладання функції в ряд Фур’є дає ряд ортогональних функцій. Так, , (4.21) де означає усереднене в часі значення. Опір навантаження прийнято рівним 1 ом. Підставляючи у вираз (4.21) замість функції її розклад в ряд Фур’є (4.8), дістаєм . Отже, одержуємо суму інтегралів, що містять такі члени: 1) ; 2) ; 3) ; 4) добутки косинусів і синусів, що мають аргументи неоднакової кратності. Ці останні при інтегруванні в межах періоду в силу умови ортогональности перетворюються в нуль. Таким чином, вираз (4.22) приймає вид або . (4.23) Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |