АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Критерий устойчивости Гурвица

Читайте также:
  1. II. Показатели финансовой устойчивости предприятия.
  2. VI. Проверка статистических гипотез, критерий Стьюдента
  3. VII. Проверка статистических гипотез, критерий Хи-квадрат
  4. Анализ запаса финансовой устойчивости (зоны безубыточности) предприятия
  5. Анализ ликвидности, платежеспособности и финансовой устойчивости организации
  6. Анализ равновесия между активами предприятия и источниками их формирования. Оценка финансовой устойчивости предприятия
  7. Анализ устойчивости по ЛЧХ
  8. Анализ финансовой устойчивости
  9. Анализ финансовой устойчивости предприятия
  10. Анализ финансовой устойчивости. Модель финансовой устойчивости
  11. Базовый критерий компоновки
  12. Биологическое разнообразие как основа устойчивости экосистем

По этому критерию условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. Пусть характеристический полином САУ будет (характеристический полином определяет левую часть уравнения САУ, т.е. знаменатель передаточной функции):

Полагая (если отрицательно, то это условие можно выполнить, умножив весь полином на минус единицу), составляется из коэффициентов определитель Гурвица:

В первой строке пишутся коэффициенты с условно нечетными индексами (т.е. коэффициенты с индексами n минус нечетное число, где n - порядок характеристического полинома), во второй - с условно четными (т.е. n минус четное число). Концы строк заполняются нулями так, чтобы матрица имела n столбцов. Третья и четвертая строки получаются сдвигом первых двух на одно место вправо и т.д. (всего строк - n).

Условия устойчивости заключаются в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров. Из этого правила можно вывести более удобное для практического применения: САУ устойчива, если положительны все коэффициенты характеристического полинома и предпоследний диагональный минор определителя Гурвица (справедливо для систем не выше четвертого порядка).

Выведем выражение для расчета предпоследнего диагонального минора систем третьего и четвертого порядка.

Для систем третьего порядка (n=3):

(3.1)

Для систем четвертого порядка (n=4):

(3.2)

 

Перед дальнейшим изложением материала уточним терминологию и покажем, как без излишних вычислений составляется характеристический полином замкнутой САУ по заданной структурной схеме. Для пояснений воспользуемся схемой на рис.3.2.

 

 

 

 

Рис.3.2

 

Пусть передаточная функция разомкнутой системы и цепи обратной связи будут:

Последовательное соединение элементов с передаточными функциями и даст разомкнутую цепь звеньев замкнутой САУ с передаточной функцией , которую будем называть передаточной функцией разомкнутой цепи:

Через принятые обозначения определим передаточную функцию замкнутой САУ:

Отсюда характеристический полином замкнутой САУ будет:

(3.3)

То есть, характеристический полином замкнутой САУ равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой цепи.

В качестве примера рассмотрим САУ со структурной схемой, приведенной на рис.3.3, для которой необходимо определить соотношение параметров, обеспечивающих устойчивость.

 

 

Рис.3.3

 

Составим характеристический полином замкнутой САУ в соответствии с (3.3):

(3.4)

Запишем характеристический полином в общем виде:

где

Условия устойчивости сводятся к следующим неравенствам:

Первые три неравенства интереса не представляют, если мы ограничиваем рассмотрение положительными значениями постоянных времени. Четвертое неравенство показывает лишь, что в случае ошибки и включения вместо отрицательной связи положительной система станет неустойчивой.

Реальные ограничения на значения параметров системы накладывает последнее неравенство. Его удобнее записать в другом виде, поделив левую часть на :

Это неравенство показывает, что устойчивость САУ в конце концов нарушится при неограниченном увеличении коэффициента передачи k при любых значениях постоянных времени.

Предельное по величине значение k, при котором САУ теряет устойчивость, принято называть критическим (или граничным). Для рассматриваемого примера:

(3.5)

Значение граничного коэффициента передачи зависит не от абсолютных значений постоянных времени, а от их отношения.

Для рассмотренной здесь структуры при равенстве всех постоянных времени, преобразовав соотношение (3.5) к виду

легко определить, что =8. Для данной структуры найденное значение является минимальным. Чем больше будут различаться постоянные времени, тем больше будет величина .

С помощью критериев устойчивости можно строить области устойчивости.

При проектировании САУ ряд параметров и звеньев являются заданными, так как они определяются требованиями технологического процесса и конструктивными особенностями объекта регулирования. В то же время имеется несколько параметров, которые можно менять в определенных пределах. Для определения влияния значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость строят области устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров.

Уравнения границ области устойчивости получаются из условий устойчивости, если заменить в них неравенства на равенства (это соответствует нахождению системы на границе устойчивости).

В общем случае границы области устойчивости по критерию Гурвица строятся по следующим уравнениям:

Первое уравнение соответствует наличию у характеристического уравнения пары сопряженных мнимых корней, второе равенство соответствует наличию нулевого корня, а третье - наличию бесконечного корня.

Для САУ, уже рассмотренной выше (см. рис.3.3), зададим варьируемыми параметрами общий коэффициент передачи разомкнутой цепи k и постоянную времени . Уравнениями для построения границ области устойчивости будут:

Границы области устойчивости изображены на рис.3.4. Около границ принято наносить штриховку в сторону области устойчивости.

Каждая точка внутри области устойчивости определяет комбинацию варьируемых параметров k и , при которых система устойчива. Причем, если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она называется структурно неустойчивой. Для получения устойчивости в этом случае необходимо изменить структуру.

 

Область

устойчивости

 

 

 

-1 k

Рис.3.4


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)