|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Критерий устойчивости ГурвицаПо этому критерию условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. Пусть характеристический полином САУ будет (характеристический полином определяет левую часть уравнения САУ, т.е. знаменатель передаточной функции): Полагая (если отрицательно, то это условие можно выполнить, умножив весь полином на минус единицу), составляется из коэффициентов определитель Гурвица: В первой строке пишутся коэффициенты с условно нечетными индексами (т.е. коэффициенты с индексами n минус нечетное число, где n - порядок характеристического полинома), во второй - с условно четными (т.е. n минус четное число). Концы строк заполняются нулями так, чтобы матрица имела n столбцов. Третья и четвертая строки получаются сдвигом первых двух на одно место вправо и т.д. (всего строк - n). Условия устойчивости заключаются в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров. Из этого правила можно вывести более удобное для практического применения: САУ устойчива, если положительны все коэффициенты характеристического полинома и предпоследний диагональный минор определителя Гурвица (справедливо для систем не выше четвертого порядка). Выведем выражение для расчета предпоследнего диагонального минора систем третьего и четвертого порядка. Для систем третьего порядка (n=3): (3.1) Для систем четвертого порядка (n=4): (3.2)
Перед дальнейшим изложением материала уточним терминологию и покажем, как без излишних вычислений составляется характеристический полином замкнутой САУ по заданной структурной схеме. Для пояснений воспользуемся схемой на рис.3.2.
Рис.3.2
Пусть передаточная функция разомкнутой системы и цепи обратной связи будут:
Последовательное соединение элементов с передаточными функциями и даст разомкнутую цепь звеньев замкнутой САУ с передаточной функцией , которую будем называть передаточной функцией разомкнутой цепи: Через принятые обозначения определим передаточную функцию замкнутой САУ: Отсюда характеристический полином замкнутой САУ будет: (3.3) То есть, характеристический полином замкнутой САУ равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой цепи. В качестве примера рассмотрим САУ со структурной схемой, приведенной на рис.3.3, для которой необходимо определить соотношение параметров, обеспечивающих устойчивость.
Рис.3.3
Составим характеристический полином замкнутой САУ в соответствии с (3.3): (3.4) Запишем характеристический полином в общем виде: где
Условия устойчивости сводятся к следующим неравенствам:
Первые три неравенства интереса не представляют, если мы ограничиваем рассмотрение положительными значениями постоянных времени. Четвертое неравенство показывает лишь, что в случае ошибки и включения вместо отрицательной связи положительной система станет неустойчивой. Реальные ограничения на значения параметров системы накладывает последнее неравенство. Его удобнее записать в другом виде, поделив левую часть на : Это неравенство показывает, что устойчивость САУ в конце концов нарушится при неограниченном увеличении коэффициента передачи k при любых значениях постоянных времени. Предельное по величине значение k, при котором САУ теряет устойчивость, принято называть критическим (или граничным). Для рассматриваемого примера: (3.5) Значение граничного коэффициента передачи зависит не от абсолютных значений постоянных времени, а от их отношения. Для рассмотренной здесь структуры при равенстве всех постоянных времени, преобразовав соотношение (3.5) к виду легко определить, что =8. Для данной структуры найденное значение является минимальным. Чем больше будут различаться постоянные времени, тем больше будет величина . С помощью критериев устойчивости можно строить области устойчивости. При проектировании САУ ряд параметров и звеньев являются заданными, так как они определяются требованиями технологического процесса и конструктивными особенностями объекта регулирования. В то же время имеется несколько параметров, которые можно менять в определенных пределах. Для определения влияния значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость строят области устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров. Уравнения границ области устойчивости получаются из условий устойчивости, если заменить в них неравенства на равенства (это соответствует нахождению системы на границе устойчивости). В общем случае границы области устойчивости по критерию Гурвица строятся по следующим уравнениям:
Первое уравнение соответствует наличию у характеристического уравнения пары сопряженных мнимых корней, второе равенство соответствует наличию нулевого корня, а третье - наличию бесконечного корня. Для САУ, уже рассмотренной выше (см. рис.3.3), зададим варьируемыми параметрами общий коэффициент передачи разомкнутой цепи k и постоянную времени . Уравнениями для построения границ области устойчивости будут:
Границы области устойчивости изображены на рис.3.4. Около границ принято наносить штриховку в сторону области устойчивости. Каждая точка внутри области устойчивости определяет комбинацию варьируемых параметров k и , при которых система устойчива. Причем, если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она называется структурно неустойчивой. Для получения устойчивости в этом случае необходимо изменить структуру.
Область устойчивости
-1 k Рис.3.4 Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |