|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Уравнение теплопроводности
Если поместить тело, например, бесконечную пластинку толщиной δ и начальной температурой T0 в горячую среду с температурой Tf, то пластинка, получая энергию от горячей среды, будет нагреваться, и ее температура изменяется с течением времени в каждой точке.
Рис. 4.1. Нагрев пластины в среде с температурой Tf
Температурное поле , т.е. распределение температур в пространстве и во времени, находят решением дифференциального уравнения (ДУ) теплопроводности, которое в 1814 году вывел французский ученый Фурье и поэтому это уравнение носит его имя. Вывод ДУ теплопроводности основан на законе сохранения энергии и использует закон Фурье. Уравнение Фурье моделирует процессы, которые в процессе теплопроводности протекают в каждом элементарном объеме тела: 1) поглощение тепловой энергии при нагреве или выделение при охлаждении; 2) прохождение теплоты через элементарный объем транзитом; 3) выделение или поглощение теплоты за счет действия внутренних источников или стоков теплоты мощностью qv. В векторной форме записи дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид: , (4.1) где – удельная объемная теплоемкость, Дж/(м3×К); – плотность, кг/м3; с – удельная массовая теплоемкость, Дж/(кг×К). Напомним, что для твёрдых тел . Решая это уравнение, мы получим температурное поле: Т(хi, t). Т.о. дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между пространственным и временным изменениями температуры. Вид формул для операторов дивергенции (div) и градиента (grad) зависят от выбора системы координат. Например, в декартовой системе координат ДУ теплопроводности примет вид: , (4.2) или принимая допущение о независимости физических свойств вещества от температуры { } , (4.3) где – коэффициент температуропроводности, м2/с. В нашем кратком курсе ТМО будем решать дифференциальное уравнение Фурье для тел простейшей формы (бесконечная пластина, бесконечный цилиндр и шар или сфера) с постоянными физическими коэффициентами: , (4.4) где x1 – первая координата в ортогональной системе координат: x1 = x в декартовой системе координат, x1 = r в цилиндрической и сферической системах координат; k = 1, 2 или 3 – коэффициент формы тела: k = 1 – бесконечная пластина; k = 2 – бесконечный цилиндр; k = 3 – шар. При отсутствии в системе внутренних источников\стоков теплоты (qv = 0) дифференциальные уравнения Фурье для тел простейшей формы записываются следующим образом: k = 1: ; k = 2: ;k = 3: . При неизменных условиях теплообмена (постоянных температурах флюида, омывающих тело с разных сторон, и постоянных коэффициентах теплоотдачи) на границах тела его температурное поле с некоторого момента времени перестает изменяться во времени и наступает стационарный режим теплопроводности, который для тел простейшей формы описывается уравнением Пуассона при действии внутренних источников теплоты , (4.5) или уравнением Лапласа, если qv =0 . (4.6) В результате решения одномерного дифференциального уравнения для стационарного процесса теплопроводности находят температурное поле в виде T(x1) или в явном виде T(x) – в декартовой системе координат и T(r) – в цилиндрической и сферической системах координат. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.) |