Аналитическое моделирование

При аналитическом моделировании процессы функционирования системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений). Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

· аналитическим, когда стремятся получить в общем виде характеристики системы;

· численным, когда не удается найти решения уравнений в общем виде и их решают для конкретных выходных данных;

· качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые его свойства.

Аналитические модели удается получить только для сравнительно простых систем. Для сложных систем часто возникают большие математические проблемы. При использовании аналитического метода часто идут на существенное упрощение первичной модели. Однако исследование на упрощенной модели помогает получить только ориентировочные результаты.

При аналитическом моделировании его результаты представляются в виде аналитических выражений. Например, подключив цепь к источнику постоянного напряжения ( и – компоненты данной модели), мы можем составить аналитическое выражение для временной зависимости напряжения на конденсаторе :

Это линейное дифференциальное уравнение (ДУ) и является аналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическое решение, при начальном условии, , которое означает разряженный конденсатор в момент начала моделирования, позволяет найти искомую зависимость в виде:

Однако даже в этом простом примере нужны определенные усилия для решения ДУ или для использования систем компьютерной математики с символьными вычислениями – систем компьютерной алгебры. Для данного тривиального случая решения задачи моделирование линейной цепи дает аналитическое выражение достаточно общего вида – оно пригодно для описания работы цепи при любых номиналах компонентов , Е и описывает экспоненциальный заряд конденсатора С через резистор от источника постоянного напряжения Е.

Аналитических решения при аналитическом моделировании являются исключительно ценными для выявления общих теоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств. Однако их сложность резко растет по мере усложнения воздействий на модель и увеличение порядка и числа уравнений состояния, которые описывают моделируемый объект. Можно получить более-менее обозримые результаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но уже при большем порядке аналитические выражения становятся чрезмерно сложными. Например, даже простой электронный усилитель зачастую содержит десятки компонентов. Однако, много современных систем символьной математики (Maple, Mathematica или среда MATLAB) способны в значительной мере автоматизировать решение сложных задач аналитического моделирования.

Одной из разновидностей моделирования является численное моделирование, заключающееся в получении необходимых количественных данных о поведении систем или устройств. К таим численным методом относятся, например, методы Эйлера или Рунге Кутта. На практике моделирование нелинейных систем и устройств с использованием численных методов оказывается намного эффективнее, чем аналитическое моделирование. По данным численного моделирования можно получить достаточно полные сведения о поведении моделируемых систем и устройств, а также построить соответствующие графики.

Поиск по сайту: