Задача 1. 1.Рівнянням 2-го порядку називається рівняння, що пов’язує незалежну змінну,невідому функцію і її перші дві похідні:

1. Рівнянням 2-го порядку називається рівняння, що пов’язує незалежну змінну,невідому функцію і її перші дві похідні:

F (x, y, у ^/, у ^//) = 0.

В багатьох випадках можна розв’язати це рівняння відносно старшої похідної:

y ^// = f (x, y, y).

2. Задача знаходження такого розв’язку рівняння, що задовольняє початковим умовам у (х ₀) = у ₀, у ' (х ₀) = у ₁ називається задачею Коші.

3. Загальним розв’язком рівняння другого порядку називається функція у = φ (х, С ₁, С₂) така, що:

1. при будь-яких довільних сталих С ₁, С₂ перетворює дане рівняння в тотожність;

2. при будь-яких початкових умовах знайдуться такі значення довільних сталих С ₁*, С₂ *, при яких φ (х ₀, С ₁*, С₂ *) = у ₀.

4. Будь-яка функція у = φ (х, С ₁⁰, С₂ ⁰), яка отримана із загального розв’язку при конкретних значеннях сталих С ₁, С₂ називається частинним розв’язком.

5. Дане рівняння, не містить явно шукану функцію у(х): F (x, y ', y)=0. Можна знизити порядок рівняння підстановкою у ' = р (х), у '' = р ' (х), де р (х) – нова невідома функція.

6. Підставивши вирази у ' = р (х), у '' = р ' (х) в дане рівняння, після спрощень отримаємо диференціальне рівняння першого порядку відносно функції р (х) (див. частину ІV).

7. Розв’язавши отримане рівняння, знайдемо функцію р (х). Робимо зворотну підстановку у ' = р (х). Отримаємо диференціальне рівняння першого порядку відносно функції у(х). Розв’язавши це рівняння, отримаємо загальний розв’язок даного диференціального рівняння другого порядку.

8. Для знаходження розв’язку задачі Коші знайдемо похідну . Потім підставимо в у і замість х, у і значення , і відповідно. Виконавши обчислення, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів .

9. Розв’язавши систему з п.8, підставимо знайдені значення коефіцієнтів і в у(х). Отриманий розв’язок є частинним розв’язком даного диференціального рівняння.

Поиск по сайту: